Ideální počet

Ideální čísla byla zavedena v roce 1847 německým matematikem Ernstem Eduardem Kummerem [1] a sloužila jako výchozí bod pro určení ideálů prstenců, které zavedl později Dedekind . V současnosti se tento termín nepoužívá a byl nahrazen pojmem ideál.

Ideál v kruhu je hlavní , pokud se skládá z prvků, které jsou násobky nějakého prvku, jinak je nepodstatný . Každé číslo prstenu tedy může být spojeno s hlavním ideálem, přičemž můžeme předpokládat existenci ideálních čísel, která by odpovídala libovolnému ideálu.

Příklad

Nechť y  je kořen rovnice y ² + y + 6 = 0, pak kruh celých čísel pole  je , tedy všechny výrazy tvaru a + by , kde a a b  jsou prvky kruhu celých čísel . Příkladem nehlavního ideálu v takovém kruhu je 2a + yb , kde aab jsou celá  čísla; krychle tohoto ideálu je hlavní, grupa tříd  je cyklická řádu 3. Odpovídající třídní pole získáme sečtením všech prvků w tvaru w ³ − w − 1 = 0 až , což dává . Ideální počet nehlavního ideálu 2 a + yb  je . Protože splňuje rovnici , jedná se o algebraické celé číslo.

Všechny prvky kruhu celých čísel pole třídy po vynásobení ι dávají tvar a α +  b β, kde

a

Koeficienty α a β jsou také vyhovující algebraická celá čísla

a

respektive. Vynásobením a α + b β ideálním číslem ι dostaneme 2 a + by , což je nehlavní ideál.

Historie

Kummer poprvé psal o možnosti nejedinečné faktorizace v cyklotomických (kruhových) polích v roce 1844 v obskurním časopise; článek byl opakován v roce 1847 v Liouvilleově žurnálu . V dalších článcích v letech 1846 a 1847 publikoval svou základní větu o jedinečnosti rozkladu na (reálné a ideální) prvočinitele.

Předpokládá se, že Kummer dospěl k myšlence „ideálních komplexních čísel“ při studiu Fermatova posledního teorému ; dokonce se říká, že Kummer, stejně jako Kulhavý , si myslel, že dokázal Fermatovu poslední větu, dokud mu Dirichlet neřekl, že jeho argument spočívá na jedinečnosti faktorizace; ale tento příběh byl poprvé vyprávěn Kurtem Hanselem v roce 1910 a s největší pravděpodobností vznikl z chyby v jednom z Hanselových zdrojů. Harold Edwards řekl, že „důvěra, že se Kummer vážně zajímal o Fermatův poslední teorém, je nepochybně mylná“.

Zobecnění Kummerových myšlenek provedli Kronecker a Dedekind během následujících čtyřiceti let. Přímé zobecnění narazilo na vážné potíže, které vedly Dedekinda k vytvoření teorie modulů a ideálů . Kronecker se vypořádal s obtížemi tím, že rozvinul teorii forem (zobecnění kvadratických forem ) a teorii dělitelů . Dedekindova práce vytvořila základ pro teorii prstenů a obecnou algebru , zatímco Kroneckerova práce vytvořila hlavní nástroj algebraické geometrie .

Viz také

• Ideál
• dokonalé číslo

Poznámky

1. ↑ Ideální // Kazachstán. Národní encyklopedie . - Almaty: Kazašské encyklopedie , 2005. - T. II. — ISBN 9965-9746-3-2 .  (Ruština) (CC BY SA 3.0)

Literatura

• Nicolas Bourbaki, Prvky dějin matematiky. Springer-Verlag, NY, 1999.
• Harold M. Edwards, Fermatova poslední věta. Obecný úvod do teorie čísel. Absolventské texty z matematiky sv. 50, Springer-Verlag, NY, 1977.
• C. G. Jacobi, Über die complexen Primzahlen, welche in der theori der Reste der 5ten, 8ten, und 12ten Potenzen zu betrachten sind, Monatsber. der. Akad. Wiss. Berlín (1839) 89-91.
• EE Kummer, De numeris complexis, qui radicibus unitatis et numeris integris realibus konstantní, Gratulationschrift der Univ. Breslau zur Jubelfeier der Univ. Königsberg, 1844; přetištěno v Jour. deMath. 12 (1847) 185-212.
• EE Kummer, Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren, Jour. Kožešinová matematika. (Crelle) 35 (1847) 327-367.
• John Stilwell, Úvod do teorie algebraických celých čísel od Richarda Dedekinda. Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, Velká Británie, 1996.

Odkazy

• Ideální čísla , Důkaz, že teorie ideálních čísel zachovává jedinečnost faktorizace pro cyklotomická celá čísla, na blogu Fermat's Last Theorem .