Fresnelovy integrály

Fresnelovy integrály S ( x ) a C ( x ) jsou speciální funkce pojmenované po Augustinu Jean Fresnelovi a používané v optice . Vznikají při výpočtu Fresnelovy difrakce a jsou definovány jako

S(x)=\int \limits _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt,\quad C(x)=\int \limits _{0}^{ x}\cos(t^{2})\,dt.

Parametrický graf S ( x ) a C ( x ) dává křivku v rovině, nazývanou Cornuova spirála nebo klotoida .

Rozšíření řady

Fresnelovy integrály mohou být reprezentovány mocninnými řadami , které konvergují pro všechna x :

S(x)=\int \limits _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1) ^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}}={\frac {x^{3}}{3}}-{\frac { x^{7}}{42}}+{\frac {x^{11}}{1320}}-\cdots ,

C(x)=\int \limits _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1) ^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}}=x-{\frac {x^{5}}{10}}+{\frac { x^{9}}{216}}-\cdots .

Někteří autoři [1] používají jako argument goniometrické integrandy . Takto definované Fresnelovy integrály se získají z integrálů definovaných výše změnou proměnné a vynásobením integrálů . ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ $t\to {\sqrt {\frac {\pi }{2))}t$ ${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi ))))$

Spiral Cornu

Cornuova spirála , také známá jako klotoida , je křivka, která je parametrickým grafem S ( t ) versus C ( t ). Cornuova spirála byla vynalezena Mariem Alfredem Cornu , aby usnadnila výpočet difrakce v aplikovaných problémech.

Protože

C\,'(t)^{2}+S\,'(t)^{2}=\sin ^{2}(t^{2})+\cos ^{2}(t^ {2})=1,

pak v této parametrizaci má tečný vektor jednotkovou délku, takže t je délka křivky měřená od bodu (0,0). Proto mají obě větve spirály nekonečnou délku.

Zakřivení této křivky v libovolném bodě je úměrné délce oblouku mezi tímto bodem a počátkem. Díky této vlastnosti se používá při stavbě silnic, protože úhlové zrychlení automobilu pohybujícího se po této křivce konstantní rychlostí zůstane konstantní.

Vlastnosti

$S(x)$ a jsou to zvláštní funkce . $C(x)$ $X$

Asymptotika Fresnelových integrálů je dána vzorci $x\to \infty$

S(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {{\mbox{sign}}{(x))){2}}-{\ frac {\cos {(x^{2})}}{x{\sqrt {2\pi }}}}\left[1+O(x^{-4})\right]-{\frac {\ sin {(x^{2})}}{x^{3}{\sqrt {8\pi }}}}\left[1+O(x^{-4})\right]\right),

C(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {{\mbox{sign}}{(x))){2}}+{\ frac {\sin {(x^{2})}}{x{\sqrt {2\pi }}}}\left[1+O(x^{-4})\right]-{\frac {\ cos {(x^{2})}}{x^{3}{\sqrt {8\pi }}}}\left[1+O(x^{-4})\right]\right).

Pomocí rozšíření řad lze sestrojit analytické pokračování Fresnelových integrálů do celé komplexní roviny. Komplexní Fresnelovy integrály jsou vyjádřeny pomocí chybové funkce jako

S(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {i}}\, x)+{\sqrt {-i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\right)

C(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {-i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {i}}\ ,x)+{\sqrt {i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\right)

Fresnelovy integrály nejsou vyjádřeny v termínech elementárních funkcí s výjimkou speciálních případů. Limita těchto funkcí v je rovna $x\rightarrow \infty$

\int \limits _{0}^{\infty }\cos t^{2}\,dt=\int \limits _{0}^{\infty }\sin t^{2}\,dt ={\frac {\sqrt {2\pi }}{4}}={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}.

Výpočet

Hranice funkcí C a S at lze nalézt pomocí integrace obrysu. K tomu použijeme obrysový integrál funkce $x\rightarrow \infty$

e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}

podél hranice sektoru na komplexní rovině tvořené osou x, paprskem a kružnicí o poloměru R se středem v počátku. $y=x$ $x \geqslant 0$

Při , má integrál podél oblouku tendenci k 0, integrál podél reálné osy má tendenci k hodnotě Poissonova integrálu $R\rightarrow \infty$

\int \limits _{0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}dt={\sqrt {\frac {\pi }{2 }}},

a po některých transformacích lze integrál podél zbývajícího paprsku vyjádřit jako mezní hodnotu Fresnelova integrálu.

Viz také

Poznámky

Milton Abramowitz a Irene A. Stegun, ed. Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami. - New York: Dover, 1972. (Viz část 7) (angl.)

↑ Rovnice 7.3.1 - 7.3.2

Odkazy

Weisstein, Eric W. Fresnel Integrals (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld . (Angličtina)
Weisstein, Eric W. Cornu Spiral (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld . (Angličtina)
R. Nave, The Cornu spiral , Hyperphysics (2002) (Používá πt²/2 místo t². )
Tvary smyčky na horské dráze (nedostupný odkaz) . Získáno 13. srpna 2008. Archivováno z originálu dne 4. března 2006. (neurčitý) (anglicky).