Cauchyova integrální věta

Cauchyho integrální teorém je výrok z teorie funkcí komplexní proměnné .

Věta

Dovolit být doména a nechat funkce být holomorfní v a spojité v uzavření . Pak pro nějakou jednoduše spojenou doménu a pro jakoukoli uzavřenou Jordanovu křivku vztah $D\subset \mathbb {C}$ $f(z)$ $D$ $\overline {D}$ $A\subset {\mathbb C},$ $\Gamma \podmnožina A$ $\oint \limits _{\Gamma }\,f(z)\,dz=0$

Důkaz

Důkaz podáváme, když je definiční obor jednoduše spojen a derivace je spojitá. Z Cauchy-Riemannových rovnic vyplývá, že diferenciální forma je uzavřená . Nechť je nyní uzavřený samo-disjunktní po částech hladký obrys uvnitř oblasti funkce , ohraničující doménu . Pak podle Stokesovy věty máme: $D$ $F$ $f(z)\,dz$ $\Gamma$ $f(z)$ $D$

\int \limits _{{\Gamma }}f(z)\,dz=\int \limits _{{\partial D}}f(z)\,dz=\int \limits _{D}d[f (z)\,dz]=0

Generalizace

Lze to také dokázat bez dalších předpokladů o spojitosti derivace. Myšlenka důkazu je taková, že stačí prokázat existenci primitivního derivátu diferenciální formy . K tomu stačí dokázat, že integrál nad libovolným obdélníkem se stranami rovnoběžnými se souřadnicovými osami je roven nule. $f(z)dz$

Pokud je tento integrál nenulový a roven číslu , pak při rozřezání obdélníku na 4 stejné obdélníky (opět se stranami rovnoběžnými se souřadnicovými osami) se integrální modul nad jedním z obdélníků sníží maximálně o čtyři. Rozřízneme to a pokračujeme v tomto procesu. Vnořená posloupnost obdélníků však musí mít společný bod , v jehož dostatečně malém okolí . $A$ $p$ $f(z)=f(p)+f'(p)(zp)+o(zp)$

Ale integrál přes velmi blízký obdélník prvních dvou členů je roven nule a integrál posledního je příliš malý. Rozpor dokazuje teorém.

Různé

Omezeným opakem Cauchyho věty je Morerova věta . Zobecněním Cauchyho věty na případ vícerozměrného komplexního prostoru je Cauchyho-Poincarého věta .

Viz také

Cauchyho-Poincarého věta

Literatura

Shabat BV Úvod do komplexní analýzy. — M .: Nauka . - 1969, 577 stran.