Kvadratický diferenciál

Kvadratický diferenciál na manifoldu je část symetrického čtverce jeho kotangentního svazku . Nejčastěji se tato fráze používá v kontextu komplexních variet a mlčky se předpokládá, že tato sekce je holomorfní. Kvadratické diferenciály mají extrémní důležitost v teorii komplexních křivek nebo Riemannových ploch .

Formální definice pro Riemannovy povrchy je následující: Riemannův povrch je slepený ze složitých disků pomocí částečně definovaných holomorfních zobrazení mezi nimi (funkce lepení). Na doméně v se souřadnicí je kvadratický diferenciál dán jako , kde je nějaká holomorfní funkce . V souladu s tím je na Riemannově povrchu kvadratický diferenciál výrazem, který má tento tvar v každém místním grafu. $\mathbb {C}$ $z$ $f(z)dz\otimes dz$ $F$

Kotangentní svazek Teichmüllerova prostoru

Uvažujme holomorfní rodinu hladkých komplexních křivek (Riemannových ploch) parametrizovaných komplexním parametrem náležejícím malému disku (tj. jednoparametrová deformace křivky ). Pokud je Riemannův povrch reprezentován jako soubor malých komplexních disků slepených částečně definovanými holomorfními zobrazeními mezi nimi, pak je deformace tohoto Riemannova povrchu dána změnou zákona, kterým jsou disky k sobě přilepeny. Pokud neuvažujeme celou deformaci, ale pouze „první koeficient její Taylorovy řady “, pak místo množiny zobrazení holomorfního disku (popisy toho, jak se lepení mění) dostaneme množinu lokálně definovaných holomorfních vektorových polí . Představují Čechov 1-kocyklus svazku holomorfních vektorových polí (tj. holomorfní tečný svazek ). Jeho třída v kohomologii nezávisí na pokrytí Riemannovy plochy atlasem, ale pouze na samotné deformaci (přesněji jeho členu prvního řádu). $C_{t}$ $t$ ${\displaystyle C=C_{0))$ $T_{C}$ $H^{1}(T_{C})$

Teichmüllerův prostor parametrizuje všechny možné složité struktury na křivce. V souladu s tím je jednoparametrová deformace křivky holomorfním zobrazením z komplexního disku do Teichmüllerova prostoru a deformace prvního řádu je vektor tečny k Teichmüllerově prostoru. Prostor tečny k Teichmüllerovu prostoru v bodě odpovídajícím křivce je tedy kanonicky izomorfní k prostoru kohomologie . Díky dualitě Serry je tento prostor duální s prostorem . Jinými slovy, prostor kvadratických diferenciálů na Riemannově povrchu je kotangens prostor k odpovídajícímu bodu v Teichmüllerově prostoru. $C$ $H^{1}(T_{C})$ $H^{0}(T_{C}^{*}\otimes K_{C})=H^{0}(K_{C}^{2})$

Dalším způsobem, jak specifikovat deformaci křivky prvního řádu, je popsat její Kodaira-Spencerův operátor . Konkrétně, pokud je holomorfní 1-forma nebo abelovský diferenciál prvního druhu, pak po deformaci její de Rhamova třída kohomologie nemusí být reprezentována žádnou holomorfní 1-formou. Porovnání antiholomorfní části odpovídající třídy dává operátor , nebo (antiholomorfní formy lze ztotožnit s funkcionály na prostoru holomorfních forem pomocí vnějšího násobení a následné integrace). Tento operátor se nazývá operátor Kodaira-Spencer. Jestliže , pak jeho hodnota na holomorfní formě je funkcionál . $\alpha \in H^{1,0}(C)$ $\alpha$ $H^{1,0}(C)\to H^{0,1}(C)$ $\Omega (C)\to \Omega ^{*}(C)$ $\Omega (C)$ $v\in T_{C}\mathrm {Teich} =H^{0}(K_{C}^{2})^{*}$ $\alpha$ $\beta \mapsto v(\alpha \otimes \beta )$

Dimenze prostoru kvadratických diferenciálů

Aplikováním Riemann-Rochovy věty na tečný svazek máme . Stupeň tečného svazku rodové křivky je , takže odtud můžeme vyjádřit rozměr prostoru kvadratických diferenciálů jako . Na racionální křivce ( ), na níž holomorfní vektorová pole tvoří trojrozměrnou Lieovu algebru , proto neexistují žádné nenulové kvadratické diferenciály. Na eliptické křivce ( ), na které je pouze jedno holomorfní vektorové pole a prostor kvadratických diferenciálů je jednorozměrný. Pro , Hurwitzův odhad implikuje mizení , takže pro křivky velkého rodu má prostor kvadratických diferenciálů rozměr . Jak známo, rozměr Teichmüllerova prostoru je stejný: jakákoliv deformace křivky prvního řádu, jak se říká, je neomezená (tedy může být rozšířena na poctivou deformaci parametrizovanou diskem). $T_{C}$ $\dim H^{0}(T_{C})-\dim H^{0}(T_{C}^{*}\otimes K_{C})=\deg(T_{C})- g+1$ $G$ $2-2g$ $\dim H^{0}(K_{C}^{2})=3g-3+\dim H^{0}(T_{C})$ $g=0$ $g=1$ $g>1$ $H^{0}(T_{C})$ $3g-3$

Noetherova věta o kvadratických diferenciálech

Jsou-li dvě holomorfní 1-formy, pak jejich symetrický součin je kvadratický diferenciál. Jinými slovy, symetrické násobení definuje mapování . Na eliptické křivce jsou jakékoli dvě holomorfní 1-formy proporcionální a prostor kvadratických diferenciálů je jednorozměrný, takže každý kvadratický diferenciál se triviálními úvahami rozloží na součin holomorfních 1-forem. Podobně, zobrazení pro křivku rodu dva je izomorfismus. $\alpha ,\beta$ $\alpha \otimes \beta$ $\mathrm {Sym} ^{2}\Omega (C)\to H^{0}(K_{C}^{2})$ $\mathrm {Sym} ^{2}\Omega (C)\to H^{0}(K_{C}^{2})$

Předpokládejme však, že křivka připouští holomorfní involuci . Pak také funguje jako involuce na prostoru holomorfních 1-forem, takže má vlastní podprostory s vlastními čísly a . Bývalý definovat holomorfní formy na faktoru . Pokud je tedy tato involuce hypereliptická , tj. faktor v ní je racionální křivka, pak je tento vlastní podprostor nulový, protože racionální křivka nepřipouští holomorfní formy a involuce působí na jakoukoli holomorfní 1-formu jako . Proto na kvadratických diferenciálech generovaných součiny tvaru , působí identicky. Na druhé straně, kohomologické třídy, na které hypereliptická involuce působí identicky, jsou právě deformace zachovávající hyperelipticitu. Pro rod dva to není netriviální stav, protože každá křivka rodu dva je hyperelliptická; pro křivky rodu tři a výše to však již neplatí. Proto pro hypereliptickou křivku rodu již není zobrazení surjektivní. $C$ $\iota \colon C\to C$ $+1$ $-jeden$ $C/\iota$ $\iota ^{*}\alpha =-\alpha$ $\alpha \otimes \beta$ $H^{1}(T_{C})$ $C$ $g>2$ $\mathrm {Sym} ^{2}\Omega (C)\to H^{0}(K_{C}^{2})$

Věta Maxe Noethera o kvadratických diferenciálech uvádí, že se jedná o jedinou výjimku: pro jakoukoli křivku, s výjimkou hypereliptických křivek rodu tři a vyšší, lze jakýkoli kvadratický diferenciál reprezentovat jako součet monočlenů tvaru , kde jsou některé holomorfní 1-formy. Ve skutečnosti platí ještě více: na jakékoli nehyperelliptické křivce rodu větší než dva lze vybrat tři holomorfní 1-formy tak, že každý kvadratický diferenciál má tvar , kde jsou nějaké holomorfní 1-formy. $\alpha \otimes \beta$ $\alpha ,\beta$ $\alpha ,\beta ,\gama$ $\alpha \otimes \alpha '+\beta \otimes \beta '+\gamma \otimes \gamma '$ $\alpha ',\beta ',\gamma '$

Z hlediska modulových prostorů lze Noetherův teorém popsat následovně. Duální prostor k symetrickému čtverci je prostor tečny k hornímu Siegelovu poloprostoru parametrizujícímu abelovské variety v bodě odpovídajícím jakobiánské variaci křivky . Mapování křivky na její jakobiánskou varietu poskytuje mapování z Teichmüllerova prostoru do horního Siegelova poloprostoru, nazývaného Torelliho mapování . Diferenciál Torelliho zobrazení je přesně duálem symetrického zobrazení násobení . Pro nehyperelliptické křivky je tedy tento diferenciál injektivní. Všimněte si, že samotná Torelliho mapa je také injektivní pro hyperelliptické křivky, ačkoli má degenerovaný diferenciál podél hyperelliptického lokusu. Toto tvrzení se nazývá Torelliho teorém pro křivky. $\mathrm {Sym} ^{2}\Omega (C)^{*}$ $C$ $\mathrm {Teich} \to {\mathfrak {Z))$ $\mathrm {Sym} ^{2}\Omega (C)\to H^{0}(K_{C}^{2})$

Polotranslační plochy

Mimo své nuly připouští kvadratický diferenciál dobře definovanou, i když až na znaménko, extrakci odmocniny: pokud má kvadratický diferenciál v nějaké mapě tvar , kde je funkce nikde nula, pak holomorfní 1-forma vyhovuje . Toto mínus forma je jediná forma s takovou podmínkou; nikdo však neslíbil, že analytické pokračování této formy kolem nuly nezmění znaménko. Tak se 1-forma stane dobře definovanou až po dvojitém pokrytí rozvětveném na nuly . Říká se tomu spektrální pokrytí . Pokud byl rod povrchu , a nemá více nul, pak lze rod jeho spektrálního pokrytí odvodit ze vztahu k Eulerovým charakteristikám , což je ekvivalentní Riemann-Hurwitzově vzorci : (nejprve propíchneme nuly, pokryjeme dvakrát a poté nuly propíchněte zpět). Zjednodušení, máme . Všimněte si, že involuce, která přeskupuje listy spektrálního pokrytí, jak bylo diskutováno výše, působí na prostor holomorfních forem a má své vlastní podprostory pro vlastní čísla a navíc, první je identifikován s výtahy holomorfních forem z faktor – tedy samotná křivka . Proto je -rozměrný a prostor forem, které jsou antiinvariantní vzhledem ke spektrálnímu pokrytí, má rozměr . Periody těchto forem určují lokální souřadnice na celkovém prostoru svazku kotangens k prostoru moduli, ze kterého byla vynechána podvarieta odpovídající formám s více nulami. Inverzní obraz Lebesgueovy míry na určuje míru konečného objemu na celkovém prostoru kotangentního svazku, jeho celkový objem se nazývá Mazur - Viczův objem . Hodnoty těchto svazků jsou stále záhadou. $q$ $f(z)dz\otimes dz$ $f(z)$ $\alpha ={\sqrt {f(z)}}dz$ $q=\alpha \otimes \alpha$ $-\alpha$ $\alpha$ $q$ $G$ $q$ $G'$ $2-2g'=2(2-2g-(4g-4))+4g-4$ $4g-4$ $g'=4g-3$ $+1$ $-jeden$ $C$ $G$ $4g-3-g=3g-3$ $\mathbb {C} ^{3g-3}$

Neurčitá integrace holomorfní 1-formy dává lokální souřadnice mimo její nuly, jejichž přechodové funkce jsou paralelní překlady , jinak nazývané překlady. Plocha s atlasem tohoto tvaru se nazývá translační plocha . Geometricky je to jednoduše plochá struktura mající celkový úhel v nulách, který je celočíselným násobkem . Podobně lze integrovat druhou odmocninu kvadratického diferenciálu (i když je definován až do znaménka). $z\mapsto z+c$ $2\pi$

Přesněji, nechť je nenulový kvadratický diferenciál na Riemannově povrchu a nechť jsou jeho nuly. Zvolme bod odlišný od nich . Pak je neurčitý integrál dobře definovaný a závisí pouze na homotopické třídě cesty, konkrétně definuje zobrazení univerzálního pokrytí , nazývané vývojové mapování . To dává soubor grafů na proraženém Riemannově povrchu , přelepovací funkce mezi nimiž jsou zjednodušeny na (kde znaménko vzniká, protože znaménko odmocniny se může měnit, když jde kolem nuly). Taková geometrická struktura se nazývá semitranslační plocha . Provedením dostatečného množství řezů mezi nulami, aby se povrch jednoduše spojil, lze dosáhnout toho, že na zbývající ploše se rozvinuté mapování stane jednohodnotovou holomorfní funkcí, která definuje mapování na mnohoúhelník. Plochu s kvadratickým diferenciálem lze tedy reprezentovat jako (případně nekonvexní) mnohoúhelník v komplexní rovině, jehož rovnoběžné strany jsou slepeny podle zákona . Naopak, pokud existuje plocha realizovaná tímto způsobem nebo množinou map s přelepovacími funkcemi tvaru , obnoví se kvadratický diferenciál na této ploše v každé mapě jako inverzní obraz . Je snadné vidět, že tyto rozdíly budou na tomto typu překližky konzistentní. Geometricky je semitranslační plocha plochá struktura se singularitami, které mají plné úhly, které jsou násobky . $q$ $C$ $Z_{q}=\{x_{1},\tečky x_{4g-4}\}$ $z_{0}\in C$ $z\mapsto \int _{z_{0}}^{z}{\sqrt {q}}$ ${\widetilde {C\setminus Z_{q))}\to \mathbb {C}$ ${\displaystyle C\setminus Z_{q))$ $z\mapsto \pm z+c$ $z\mapsto \pm z+c$ $z\mapsto \pm z+c$ $dz\otimes dz$ $\pi$

Měřitelné foliace

Kvadratický diferenciál v každém bodě, kde nezaniká, má dva reálné směry dané vektory a , kde je číslo (resp. ) kladné (resp. záporné). Při zobrazení tažení se posunou do vodorovného a svislého směru na . Směrové pole na povrchu definuje foliaci a tyto dvě vzájemně kolmé foliace se nazývají horizontální a vertikální . V nulách diferenciálu mají tyto foliace singularity, konkrétně tam integrální křivky této foliace se sbíhají v takovém počtu, že celkový úhel v této singularitě má plochou strukturu spojenou s kvadratickým diferenciálem. ${\displaystyle v_{+))$ $v_{-}$ $q(v_{+},v_{+})$ $q(v_{-},v_{-})$ $\mathbb {C}$

Příčnou míru na skutečné foliaci lze definovat následovně. Na dostatečně malé mapě je foliace jednoduše projekcí disku na segment, jehož vrstvy jsou celistvé křivky. Míra na segmentu definuje míru na jakékoli křivce, která příčně protíná foliaci. Sada takových opatření v každém grafu, která je konzistentní v průsečíkech map, se nazývá příčná míra na foliovaném povrchu. Jednoduše řečeno, příčná míra přiřadí jakémukoli oblouku příčně protínajícímu foliaci číslo , které se sčítá, když je oblouk rozdělen do svazku menších oblouků, a nemění se, pokud se oblouk začne měnit a jeho konce zůstanou na stejných listech. foliace. Foliace s příčnou mírou uvedenou na tom se nazývá měřitelná foliace . V případě foliací spojených s kvadratickým diferenciálem jsou výše uvedené projekce jednoduše projekcemi na mm a reálnou osu, které mají svou vlastní přirozenou Lebesgueovu míru . Kvadratický diferenciál tedy nedefinuje pouze dvojici foliace, ale dvojici měřitelných foliace. $\xi$ $\mu (\xi)$

Pokud je jednoduchá uzavřená křivka, pak hodnotu příčné míry na ní lze definovat jako , kde je množina oblouků ležících na a protínajících foliaci příčně. Pokud je třída jednoduchých uzavřených křivek až po izotopii, je číslo průsečíku měřitelné foliace s touto třídou definováno jako . Dvě měřitelné foliace jsou považovány za ekvivalentní , pokud dávají stejný průsečík s každou třídou izotopů jednoduchých uzavřených křivek. Toto je metrická verze konceptu homologie dvou uzavřených diferenciálních forem: dvě 1-formy jsou cohomologické, pokud jsou jejich integrály ve všech třídách homologie stejné. $\xi$ $\mu (\xi )=\sup _{\xi _{1},\tečky ,\xi _{m))\sum _{i=1}^{m}\mu (\xi _{ i})$ $\xi _{i}$ $\xi$ $\sigma$ $\inf _{\xi \in \sigma }\mu (\xi )$

Jedním ze standardních důsledků Hodgeovy teorie (ve skutečnosti spíše výchozím bodem pro její vývoj) je, že prostor holomorfních 1-forem na Riemannově povrchu lze ztotožnit s prostorem první de Rhamovy kohomologie: každá de Rhamova cohomologická třída je reprezentována jedinečnou harmonickou formou podle základní věty Hodgeovy teorie a harmonické formy na křivce jsou přesně skutečnými částmi těch holomorfních. Podobný topologický popis holomorfních dat pro kvadratické diferenciály poskytuje Mazur- Hubbardova věta : každá měřitelná foliace na Riemannově povrchu připouští, a navíc, jedinečný kvadratický diferenciál, jehož vertikální foliace je jí ekvivalentní.

Literatura

HM Farkaš, I. Kra. Riemannovy povrchy , absolventské texty z matematiky. Springer, 2. vydání, 1992.
Michael Wolf. O realizaci naměřených foliací prostřednictvím qadratických diferenciálů harmonických map k R-stromům