Riemann-Rochův teorém

Riemann-Rochova věta vztahuje komplexní analýzu spojených kompaktních Riemannových ploch k čistě topologickému rodu plochy g pomocí metod, které lze rozšířit na čistě algebraické situace.

Původně byla Riemannem dokázána jako Riemannova nerovnost [1] , ale svou konečnou podobu pro Riemannovy povrchy získala tato věta po práci Riemannova studenta Gustava Rocha [2] , který brzy zemřel . Věta byla později zobecněna na algebraické křivky a na variety .

Předběžné poznámky

Riemannův povrch X je topologický prostor , který je lokálně homeomorfní pro otevřenou podmnožinu komplexních čísel. Kromě toho se požaduje, aby přechodové funkce mezi těmito otevřenými podmnožinami byly holomorfní . Poslední podmínka umožňuje přenést koncepty komplexní analýzy na plochu X , konkrétně lze mluvit o holomorfních a meromorfních funkcích na X.

Povrch X bude považován za kompaktní . Rod g Riemannovy plochy X je počet úchytů plochy. Například rod Riemannovy plochy znázorněný vpravo je tři. Rod může být také definován jako polovina prvního Bettiho čísla , tj. polovina komplexní dimenze první singulární homologní skupiny H 1 ( X , C ) s komplexními koeficienty. Rod klasifikuje kompaktní Riemannovy povrchy až po homeomorfismus , to znamená, že dva takové povrchy jsou homeomorfní právě tehdy, když je jejich rod stejný. Na druhé straně Hodgeova teorie ukazuje, že rod se shoduje s (komplexní) dimenzí prostoru holomorfních 1-forem na X , takže rod také kóduje komplexně-analytické informace o Riemannově povrchu [3] .

Dělitel D je prvkem volné abelovské grupy generované body plochy. Ekvivalentně je dělitel konečnou lineární kombinací s celočíselnými koeficienty bodů na povrchu.

Libovolná meromorfní funkce f dává dělitele, označovaného ( f ), který je definován jako

{\displaystyle (f):=\součet _{z_{\nu }\in R(f)}s_{\nu }z_{\nu ))

kde R ( f ) je množina všech nul a pólů funkce f a s ν je definováno následovně

s_{\nu }:=a

, pokud je nula řádu a , a -a pokud je pólem řádu a.

{\displaystyle z_{\nu ))

{\displaystyle z_{\nu ))

Je známo, že množina R ( f ) je konečná. Je to důsledek kompaktnosti X a skutečnosti, že nuly (nenulové) holomorfní funkce nemají žádné limitní body . ( f ) je tedy dobře definováno. Jakýkoli dělitel tohoto druhu se nazývá hlavní dělitel. Dva dělitelé, kteří se liší hlavním dělitelem, se nazývají lineárně ekvivalentní . Dělitel meromorfní 1-formy je definován podobně. Dělitel globální meromorfní 1-formy se nazývá kanonický dělitel (obvykle se označuje K ). Jakékoli dva meromorfní 1-formy dávají lineárně ekvivalentní dělitele, takže kanonický dělitel je jednoznačně definován až do lineární ekvivalence.

Symbol deg( D ) znamená stupeň (někdy nazývaný index) dělitele D , tedy součet koeficientů vyskytujících se v D . Lze ukázat, že dělitel globální meromorfní funkce má vždy stupeň 0, takže stupeň dělitele závisí pouze na třídě lineární ekvivalence.

Číslo je veličina primárního zájmu — rozměr (přes C ) vektorového prostoru meromorfních funkcí h na povrchu tak, že všechny koeficienty dělitele ( h ) + D jsou nezáporné. Intuitivně si je můžeme představit jako meromorfní funkce, jejichž póly v každém bodě nejsou horší než odpovídající koeficienty D . Pokud je koeficient v D u z záporný, pak požadujeme, aby h mělo nulu stupně alespoň násobnosti v z , je-li koeficient v D kladný, h může mít pól nejvýše tohoto řádu. Vektorové prostory pro lineárně ekvivalentní dělitele jsou přirozeně izomorfní prostřednictvím násobení globální meromorfní funkcí (která je jednoznačně definována až do skaláru). $\ell (D)$

Prohlášení věty

Riemann-Rochův teorém pro kompaktní Riemannovu plochu rodu g s kanonickým dělitelem K říká, že

\ell (D)-\ell (KD)=\deg(D)-g+1.

Obvykle je číslo číslo, které hledáte, zatímco se s ním zachází jako s korekčním členem (také nazývaným speciální index [4] [5] ), takže větu lze zhruba přeformulovat jako $\ell (D)$ $\ell (KD)$

rozměr - oprava = stupeň - rod + 1.

Opravný člen je vždy nezáporný, takže $\ell (KD)$

\ell (D)\geq \deg(D)-g+1.

Tento výraz se nazývá Riemannova nerovnost . Rochův příspěvek k tomuto tvrzení má popsat možný rozdíl mezi dvěma částmi nerovnosti. Na obecné Riemannově ploše rodu g má K stupeň 2g − 2. Toho lze získat nastavením D = K ve větě. Konkrétně, má-li D stupeň alespoň 2g − 1, je korekční člen 0, takže

\ell (D)=\deg(D)-g+1.

Existuje také řada dalších úzce souvisejících vět – ekvivalentní formulace věty pomocí svazků přímek a zobecnění věty na algebraické křivky .

Příklady

Větu lze ilustrovat výběrem bodu P na uvažované ploše a uvažováním posloupnosti čísel

\ell (n\cdot P),n\geq 0

tedy rozměry prostoru funkcí, které jsou holomorfní všude kromě bodu P , ve kterém funkce smí mít pól řádu nejvýše n . Pro n = 0 pak funkce musí být celá čísla , tj. celoplošně holomorfní X . Podle Liouvilleova teorému musí být taková funkce konstanta. Tedy, . Obecně se sekvence zvyšuje. $\ell (0)=1$ $\ell (n\cdot P)$

Rod 0

Riemannova koule (také nazývaná komplexní projektivní čára) je jednoduše spojena , a proto je její první singulární homologie nulová. Zejména jeho rod je nulový. Kouli lze pokrýt dvěma kopiemi C s přechodovou funkcí danou pomocí

\mathbf {C} ^{\times }\ni z\mapsto 1/z.

Forma ω = d z na jedné kopii C se tedy rozšiřuje na meromorfní formu na Riemannově sféře – ta má v nekonečnu dvojitý pól, protože

d\left({\frac {1}{z}}\right)=-{\frac {1}{z^{2}}}\,dz.

Pak je jeho dělitel K := div( ω ) = −2 P (kde P je bod v nekonečnu).

Věta tedy říká, že posloupnost má tvar $\ell (n\cdot P)$

1, 2, 3, ….

Stejnou sekvenci lze odvodit z teorie expanze na elementární zlomky . Naopak, pokud sekvence začíná takto, g musí být nula.

Rod 1

Dalším případem jsou Riemannovy povrchy rodu g = 1, jako je torus C / Λ, kde Λ je dvourozměrná mřížka (skupina izomorfní k Z 2 ). Jeho rod je roven jedné – jeho první singulární homologická skupina je volně generována dvěma smyčkami, jak je znázorněno na obrázku vpravo. Standardní komplexní souřadnice z na C dává 1-formu ω = d z na X , která je všude holomorfní, to znamená, že nemá vůbec žádné póly. Proto K , dělitel ω, je roven nule.

Na tomto povrchu bude sekvence vypadat takto

1, 1, 2, 3, 4, 5 …;

a to charakterizuje případ g = 1. Navíc pro , jak je uvedeno výše. Pro D = nP s n > 0 je mocnina K − D striktně záporná, takže korekční člen je nulový. Z teorie eliptických funkcí lze odvodit i posloupnost dimenzí . $D=0,\ell (KD)=\ell (0)=1$

Rod 2 a vyšší

Pro g = 2 by výše uvedená sekvence byla

1, 1, ?, 2, 3, ….

Je tady nějaký člen? stupeň 2 je 1 nebo 2 v závislosti na bodu. Lze dokázat, že na každé křivce rodu 2 je právě šest bodů s posloupností 1, 1, 2, 2, … a zbývající body mají posloupnost 1, 1, 1, 2, … Konkrétně křivka rodu 2 je hypereliptická křivka . Pro g > 2 vždy platí, že posloupnost většiny bodů začíná jedničkami g+1 a bodů s jinými posloupnostmi je konečně mnoho (viz Weierstrassovy body ).

Riemann-Rochův teorém pro svazky čar

Pomocí těsné korespondence mezi děliteli a holomorfními svazky přímek na Riemannově ploše můžeme větu formulovat v jiné, ale stále ekvivalentní formě. Nechť L je holomorfní svazek čar na X . Označme prostor holomorfních řezů L . Tento prostor bude konečnorozměrný a tato dimenze je označena jako . Nechť K označuje kanonický svazek na X . Pak to říká Riemann-Rochova věta $H^{0}(X,L)$ $h^{0}(X,L)$

h^{0}(X,L)-h^{0}(X,L^{-1}\otimes K)=\deg(L)+1-g.

Věta z předchozí části je konkrétní případ, kdy L je bodový svazek.

Věta může být použita k ukázce, že na X existuje g holomorfních úseků K nebo 1-forem . Pokud vezmeme triviální svazek jako L , dostaneme , protože pouze konstantní funkce na X jsou holomorfní. Stupeň L je roven nule a jde o triviální fibraci. Pak $h^{0}(X,L)=1$ $L^{{-1}}$

1-h^{0}(X,K)=1-g.

Tedy , což dokazuje, že existují g holomorfní 1-formy. $h^{0}(X,K)=g$

Riemann-Rochův teorém pro algebraické křivky

Každý termín ve výše uvedené formulaci Riemann-Rochovy věty pro dělitele na Riemannových plochách má analog v algebraické geometrii . Analogií Riemannovy plochy je nesingulární algebraická křivka C nad polem k . Rozdíl v terminologii (křivky místo ploch) vzniká proto, že rozměr Riemannovy plochy jako skutečné variety je dva, ale jako komplexní varieta je rozměr jedna. Kompaktnost Riemannovy plochy je způsobena podmínkou, že algebraická křivka je úplná , což je ekvivalentní její projektivitě . Přes obecné pole k neexistuje dobrá představa o singulární (ko)homologii. Takzvaný geometrický rod je definován jako

g(C):=\dim _{k}\Gamma (C,\Omega _{C}^{1})

tedy jako rozměr prostoru globálně definovaných (algebraických) 1-forem (viz Kählerův diferenciál ). Konečně, meromorfní funkce na Riemannově povrchu jsou lokálně reprezentovány jako parciální holomorfní funkce. Jsou tedy nahrazeny racionálními funkcemi , které jsou lokálně částečkami regulárních funkcí . Označíme-li tedy rozměrem (přes k ) prostor racionálních funkcí na křivce, jejíž póly v každém bodě nejsou horší než odpovídající koeficienty v D , platí stejný vzorec jako výše: $\ell (D)$

\ell (D)-\ell (KD)=\deg(D)-g+1.

kde C je projektivní nesingulární algebraická křivka přes algebraicky uzavřené pole k . Ve skutečnosti platí stejný vzorec pro projektivní křivky přes libovolné pole, kromě toho, že při výpočtu stupně dělitele je třeba vzít v úvahu násobnost bodů [6] . Konečně, pro vhodnou křivku přes Artinianův prstenec je Eulerova charakteristika svazku přímek asociovaného s dělitelem dána stupněm dělitele (správně definovaným), plus Eulerova charakteristika svazku struktury [7] . $\mathcal O$

Předpoklad hladkosti ve větě může být také oslaben — pro (projektivní) křivku přes algebraicky uzavřené pole, jehož všechny lokální kruhy jsou Gorensteinovy kruhy , platí stejné tvrzení jako výše, s výjimkou toho, že geometrický rod je nahrazen aritmetický rod g a , definovaný jako

g_{a}:=\dim _{k}H^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C}).

[osm]

(Pro hladké křivky je geometrický rod stejný jako aritmetický rod.) Věta byla také rozšířena na obecné singulární křivky (a vícerozměrné variety) [9] .

Důkaz

Výrok pro algebraické křivky lze dokázat pomocí Serreovy duality . Celé číslo I ( D ) je rozměr prostoru globálních úseků úsečky asociovaných s D . Z hlediska kohomologie snopů máme tedy a stejným způsobem . Nicméně, Serre dualita pro nesingulární projektivní variety v konkrétním případě křivky uvádí, že je izomorfní k duálnímu prostoru . Levá strana je pak rovna Eulerově charakteristice dělitele D . Pokud D = 0, najdeme Eulerovu charakteristiku svazku struktury, která je z definice rovna. K prokázání věty pro obecné dělitele je možné přidat body jeden po druhém k děliteli a některé odebrat a dokázat, že Eulerova charakteristika se transformuje podle pravé strany. ${\mathcal {L}} (D)$ $I(D)=\mathrm {dim} H^{0}(X,{\mathcal {L}}(D))$ $I({\mathcal {K}}_{X}-D)=\dim H^{0}(X,\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}}(D)^{ \vee})$ $H^{0}(X,\omega _{X}\otimes {\mathcal {L))(D)^{\vee })$ $\simeq H^{1}(X,{\mathcal {L}}(D))^{\vee }$ $1-g$

Větu pro kompaktní Riemannovy plochy lze odvodit z algebraické verze pomocí Chouovy věty a principu GAGA (Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique). Ve skutečnosti je každá kompaktní Riemannova plocha definována algebraickými rovnicemi v nějakém komplexním projektivním prostoru. (Chowova věta říká, že jakákoli uzavřená analytická podvarieta projektivního prostoru je definována algebraickými rovnicemi, a princip GAGA říká, že kohomologie svazků algebraické variety je stejná jako kohomologie svazků analytické variety definované některými rovnicemi. )

Aplikace

Ireducibilní rovinná algebraická křivka stupně d má singulární body, pokud je to uvažováno vhodně. Z toho vyplývá, že pokud má křivka zřetelné singulární body, pak je to racionální křivka a připouští racionální parametrizaci. $(d-1)(d-2)/2-g$ $(d-1)(d-2)/2$

Riemann-Hurwitzův vzorec , odkazující na (rozvětvená) zobrazení mezi Riemannovými plochami nebo algebraickými křivkami, je důsledkem Riemann-Rochovy věty.

Cliffordova speciální věta o děliteli je také důsledkem Riemann-Rochovy věty. Tvrdí, že pro speciálního dělitele (tedy takového, který), který splňuje podmínku, platí [10] : $\ell (KD)>0$ $\ell (D)>0$

\ell (D)\leq {\frac {\deg D}{2}}+1.

Zobecnění Riemann-Rochovy věty

Riemann-Rochův teorém pro křivky byl prokázán pro Riemannovy plochy Riemannem a Rochem v 50. letech 19. století a pro algebraické křivky Friedrich Karl Schmidt v roce 1931, pracující s dokonalými poli konečné charakteristiky . Podle Petera Rocketta :

Prvním velkým úspěchem FK Schmidta byl objev skutečnosti, že klasickou Riemannovu-Rochovu větu o kompaktních Riemannových plochách lze přenést na pole funkcí s konečným základním polem. Ve skutečnosti jeho důkaz Riemann-Rochovy věty funguje pro libovolná dokonalá základní pole, ne nutně konečná.

Věta je zásadní v tom smyslu, že pozdější teorie křivek se pokouší informace získané z věty upřesnit (například v teorii Brill-Noether ).

Existují verze pro vyšší dimenze (s příslušným pojmem dělitel nebo svazek čar ). Jejich formulace závisí na rozdělení věty na dvě části. První, nyní nazývaná Serre dualita , interpretuje termín jako dimenzi první cohomologické skupiny snopů . Když se rovná rozměru grupy nulové kohomologie nebo prostoru sekcí, levá strana věty se stane Eulerovou charakteristikou a pravá strana vzorcem pro její výpočet jako stupně korigovaného podle topologie Riemannovy plochy. $\ell (KD)$ $\ell (D)$

V algebraické geometrii dimenze dva takový vzorec našli geometry italské školy . Riemann-Rochův teorém pro povrchy byl prokázán (existuje několik verzí, první důkaz má na svědomí Max Noether ). Tento stav trval zhruba do roku 1950.

Zobecnění pro n - rozměrné variety, Hirzebruch–Riemann–Rochův teorém , dokázal Friedrich Hirzebruch jako aplikaci charakteristických tříd z algebraické topologie . Hirzebruch byl ovlivněn prací Kunihiko Kodaira . Přibližně ve stejné době dal Jean-Pierre Serre obecnou formu duality, jak ji nyní známe.

Alexander Grothendieck prokázal v roce 1957 dalekosáhlé zobecnění, nyní známé jako Grothendieck-Riemann-Rochův teorém . Jeho práce poskytuje různou interpretaci Riemann-Rochovy věty, nikoli jako větu o rozmanitosti, ale jako větu o morfismu mezi dvěma odrůdami. Podrobnosti důkazu zveřejnili Borel a Serre v roce 1958.

Konečně, obecná verze byla také nalezena v algebraické topologii . Tyto studie byly prováděny hlavně v letech 1950 až 1960. Poté Atiyah-Singerův indexový teorém otevřel další cesty zobecnění.

Výsledkem je skutečnost, že Eulerova charakteristika ( koherentního svazku ) je někdy zcela vyčíslitelná. Pokud se má vypočítat člen s jedním součtem, je třeba použít jiné argumenty, jako jsou mizející teorémy.

Poznámky

↑ Riemann, 1857 .
↑ Roch, 1865 .
↑ Griffiths, Harris, 1994 , str. 116, 117.
↑ Stichtenoth, 1993 , str. 22.
↑ Mukai, 2003 , str. 295–297.
↑ Liu, 2002 , str. Oddíl 7.3.
↑ Altman, Kleiman, 1970 , str. 164, Věta VIII.1.4..
↑ Hartshorne, 1986 , s. 375–386.
↑ Baum, Fulton, MacPherson, 1975 , str. 101–145.
↑ Fulton, 1989 , s. 109.

Literatura

Qing Liu. Algebraická geometrie a aritmetické křivky. - Oxford University Press , 2002. - ISBN 978-0-19-850284-5 .
Allen Altman, Steven Kleiman. Úvod do Grothendieck teorie duality. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1970. - V. 146. - (Poznámky z matematiky).
William Fulton . Algebraické křivky . - Addison-Wesley , 1989. - (Advanced Book Classics). - ISBN 978-0-201-51010-2 .
Robin Hartshorne . Zobecnění dělitelé na Gorensteinových křivkách a Noetherova věta // Journal of Mathematics of Kyoto University. - 1986. - T. 26 . — S. 375–386 . — ISSN 0023-608X . Archivováno z originálu 7. října 2013.
Paul Baum, William Fulton , Robert MacPherson . Riemann–Roch pro singulární variety // Publications Mathématiques de l'IHÉS . - 1975. - S. 101-145 . — ISSN 1618-1913 .
Borel, Armand, Serre, Jean-Pierre (1958). Le theorème de Riemann-Roch, d'apres Grothendieck. - Bull.SMF 86. - 1958. - S. 97-136.
Phillip Griffiths , Joe Harris. Základy algebraické geometrie. - New York: John Wiley & Sons , 1994. - (Wiley Classics Library). — ISBN 978-0-471-05059-9 .
Alexander Grothendieck a kol. Théorie des Intersections et Théorème de Riemann–Roch // Seminaire de Geometrie Algebrique du Bois Marie 1966/67 (SGA 6). - Springer-Verlag, 1971. - T. 225. - (LNM). - ISBN 978-3-540-36936-3 .
William Fulton . Algebraické křivky . - W. A. Benjamin, 1974. - (Série poznámek z přednášek matematiky). - ISBN 0-8053-3080-1 .
Jurgen Jost. Kompaktní povrchy Riemann. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 2006. - ISBN 978-3-540-33065-3 . Viz strany 208-219 pro důkaz složité situace. Všimněte si, že Jost použil trochu jiný zápis.
Robin Hartshorne . Algebraická geometrie . - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1977. - ISBN 978-0-387-90244-9 . Obsahuje příkaz pro křivky na algebraicky uzavřených polích. Viz část IV.1.
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), p/r081980 , Encyklopedie matematiky , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Friedrich Hirzebruch . Topologické metody v algebraické geometrii. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1995. - (Klasika v matematice). - ISBN 978-3-540-58663-0 . . Dobrý celkový moderní pohled.
Shigeru Mukai. Úvod do invariantů a modulů / William Oxbury (přel.). - New York: Cambridge University Press, 2003. - T. 81. - (Cambridgeská studia pokročilé matematiky). - ISBN 0-521-80906-1 .
Narasimhan MS Vector svazky na kompaktních plochách Riemann. - 1976. - S. 5–6. — ISBN 92-0-130576-1 .
Bernard Riemann . Theorie der Abel'schen Functionen // Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 1857. - T. 54 . — S. 115–155 . - doi : 10.1515/crll.1857.54.115 .
Gustav Roch . Ueber die Anzahl der willkurlichen Constanten in algebraischen Functionen // Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 1865. - T. 64 . — S. 372–376 . - doi : 10.1515/crll.1865.64.372 .
Friedrich Karl Schmidt. Analytische Zahlentheorie in Körpern der Charakteristik p // Mathematische Zeitschrift . - 1931. - T. 33 . — S. 1–32 . - doi : 10.1007/BF01174341 . Archivováno z originálu 22. prosince 2017.
Henning Stichtenoth. Pole a kódy algebraických funkcí. - Springer-Verlag, 1993. - ISBN 3-540-56489-6 .
Míša Kapovičová . Riemann-Rochova věta (pozn. přednášky) elementární úvod .
Gray J. Riemann- Rochův teorém a geometrie 1854–1914 .
Georges Elencwajg. Existuje Riemann-Roch pro hladké projektivní křivky nad libovolným polem? // MathOverflow . — 2011.

Algebraické křivky

Racionální
křivky

Kuželosečka definovaná pěti body
Projektivní linie
Racionální normální křivka
Riemannova koule
Nerovinná křivka třetího řádu

Eliptické
křivky

Analytická teorie	Eliptická funkce Eliptický integrál Základní dvojice období modulární forma
Aritmetická teorie	Počítání bodů na eliptické křivce Dělicí polynomy Hasseova věta o eliptických křivkách Mazurova torzní věta Modulární eliptická křivka Věta o modularitě Mordellova-Weilova věta Nagellova-Lutzova věta Nadsingulární eliptická křivka Shufův algoritmus Shoof-Elkis-Atkinův algoritmus
Aplikace	Eliptická kryptografie Test primality s eliptickými křivkami

vyšší
rod

De Francisova věta
Faltingsova věta
Hurwitzova věta o automorfismu
Povrch Hurwitz
hyperbolická křivka

Ploché
křivky

Riemannovy
povrchy

Belyho teorém
Povrch Bolz
Kompaktní riemannovská drsnost
Dětská kresba
Abelovský diferenciál
Klein quartic
Riemannova věta o existenci
Riemann-Rochův teorém
Teichmüllerův prostor
Torelliho teorém

Budovy

Duální křivka
Polární a polární
Hladké pokračování

Struktura
křivky

Dělitelé křivek	Mapování Abel–Jacobi Teorie Brill-Noether Cliffordova věta o speciálních dělitelích Gonalita adhebraické křivky Odrůda Jacobi Riemann-Rochův teorém Weierstrassův bod Weylův zákon reciprocity
Moduly	Formule ELSV Gromov-Wittenův invariant Hodgeův svazek Riemannovy povrchové moduly stabilní křivka
Morfismy	Hasse-Wittova matice Riemann-Hurwitzův vzorec Prima rozdělovač Weberova věta
Singulární body	Izolovaný bod křivky dvojitý bod Casp delta invariantní Samodotykový bod
Vektorové svazky	Birkhoff-Grothendieckův teorém Stabilní vektorový balíček Vektorové svazky algebraických křivek