Petrovova klasifikace

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 3. října 2020; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Petrov klasifikace (někdy Petrov-Pirani klasifikace , zřídka Petrov-Pirani-Penrose klasifikace ) popisuje možné algebraické symetrie Weilova tenzoru pro každou událost na pseudo-Riemannově varietě .

Tato klasifikace se nejaktivněji využívá při studiu přesných řešení Einsteinových rovnic , ačkoliv obecně řečeno jde o abstraktní matematický výsledek, který nezávisí na žádné fyzikální interpretaci. Klasifikace byla poprvé navržena v roce 1954 A. Z. Petrovem a v roce 1957 samostatně Felixem Piranim .

Klasifikační teorém

Tenzor 4. úrovně s antisymetrií v prvním a druhém páru indexů, například Weilův tenzor , v každém bodě manifoldu lze reprezentovat jako lineární operátor : působící ve vektorovém prostoru bivektorů : $C$ $T_{{p}}\times T_{{p}}\rightarrow T_{{p}}\times T_{{p}}$

X^{{ab}}\rightarrow {\frac {1}{2}}\,{C^{{ab}}}_{{mn}}X^{{mn}}

V tomto případě je přirozené nastolit problém hledání vlastních čísel a vlastních vektorů (nebo vlastních biivektorů ) tak, že $\lambda$ $X^{{ab}}$

{\frac {1}{2}}\,{C^{{ab}}}_{{mn}}\,X^{{mn}}=\lambda \,X^{{ab}}

Ve čtyřrozměrných pseudo-riemannovských varietách je v každém bodě prostor bivektorů šestirozměrný. Avšak symetrie Weylova tenzoru omezují rozměr prostoru vlastních bivektorů na čtyři. Weilův tenzor v daném bodě tedy může mít maximálně čtyři lineárně nezávislé vlastní vektory.

Stejně jako v obvyklé teorii vlastních vektorů lineárního operátoru mohou být vlastní bivektory Weylova tenzoru vícenásobné. Mnohonásobnost vlastních bivektorů indikuje nějakou další algebraickou symetrii Weylova tenzoru v daném bodě; to znamená, že typ symetrie Weylova tenzoru lze určit řešením rovnice 4. řádu pro jeho vlastní čísla.

Vlastní biivektory Weylova tenzoru jsou spojeny s určitými izotropními vektory na manifoldu, které se nazývají hlavní izotropní směry (v daném bodě). Klasifikační teorém říká, že existuje přesně šest možných typů algebraické symetrie, které jsou známé jako Petrovovy typy :

Typ I : čtyři hlavní izotropní směry,
Typ II : jeden dvojitý a dva jednoduché hlavní izotropní směry,
Typ D : dva dvojité izotropní směry,
Typ III : jedno trojité a jedno jediné doporučení,
Typ N : jeden izotropní směr s násobkem 4,
Typ O : Weylův tenzor je nulový.

Weylův tenzor typu I (v bodě) je algebraicky obecný ; tenzory jiných typů se nazývají algebraicky speciální . Různé body časoprostoru mohou mít různý typ Petrova. Možné přechody mezi typy Petrovů jsou znázorněny na obrázku, což lze také interpretovat tak, že některé typy Petrovů jsou zvláštnější než jiné. Například typ I , nejběžnější typ, může degenerovat do typů II nebo D , zatímco typ II může degenerovat na typy III , N nebo D.

Belova kritéria

Pro pseudo-Riemannovu (Lorentzovu) varietu lze Weilův tenzor vypočítat z metrického tenzoru . Pokud je v určitém bodě Weilův tenzor algebraicky speciální , pak existuje účinný soubor pravidel (objevený Louisem Belem) pro určení typu Petrov v bodě . Označte složky Weylova tenzoru v bodě ( a předpokládejte, že jsou nenulové, tj. není typu O ), pak lze Behlovo kritérium vyjádřit následovně: $M$ $p\in M$ $p$ $p$ $C_{{abcd}}$

$C_{{abcd}}$ je typu N tehdy a jen tehdy, když existuje jedinečný (až faktor) vyhovující izotropní vektor $k(p)$

C_{{abcd}}\,k^{d}=0

Pokud nepatří do typu N , pak patří do typu III tehdy a jen tehdy, pokud existuje jedinečný (až faktor) izotropní vektor splňující $C_{{abcd}}$ $C_{{abcd}}$ $k(p)$

C_{{abcd}}\,k^{b}k^{d}=0

$C_{{abcd}}$ je typu II tehdy a jen tehdy, když existuje jedinečný (až do faktoru) vyhovující izotropní vektor $k$

C_{{abcd}}\,k^{b}k^{d}=\alpha k_{a}k_{c}

a ( )

{}^{*}C_{{abcd}}\,k^{b}k^{d}=\beta k_{a}k_{c}

\alpha \beta \neq 0

$C_{{abcd}}$ je typu D právě tehdy, když existují dva lineárně nezávislé izotropní vektory , splňující podmínky: $k$ $k'$

C_{{abcd}}\,k^{b}k^{d}=\alpha k_{a}k_{c}

, ( )

{}^{*}C_{{abcd}}\,k^{b}k^{d}=\beta k_{a}k_{c}

\alpha \beta \neq 0

C_{{abcd}}\,k'^{b}k'^{d}=\gamma k'_{a}k'_{c}

, ( ).

{}^{*}C_{{abcd}}\,k'^{b}k'^{d}=\delta k'_{a}k'_{c}

\gamma \delta \neq 0

kde je tenzor duální k Weilovu tenzoru v bodě . ${{}^{*}C}_{{abcd}}$ $p$

Belova kritéria se používají v obecné relativitě, to znamená, že Petrovův typ pro algebraicky speciální Weylův tenzor je nalezen pomocí nulových vektorů.

Fyzická interpretace

Podle obecné teorie relativity mají Petrovovy algebraicky speciální typy zajímavou fyzikální interpretaci, proto se jejich klasifikace často nazývá klasifikace gravitačních polí .

Oblasti polí typu D jsou spojeny s gravitačními poli izolovaných hmotných nebeských těles, jako jsou hvězdy. Přesněji, pole typu D vznikají kolem stacionárních objektů, které mají jako fyzikální vlastnosti pouze hmotnost a moment hybnosti. (Složitější dynamické těleso má nenulové multipólové momenty .) Dva hlavní izotropní směry definují dvě „radiálně“ se sbíhající a rozbíhající se izotropní rodiny v blízkosti gravitujícího tělesa.

Elektrogravitační tenzor (nebo slapový tensor ) v oblastech typu D je analogický gravitačním polím, která jsou popsána newtonskou gravitací s gravitačním potenciálem Coulombova typu. Takovéto slapové pole je charakterizováno extenzí v jednom směru a kompresí v ortogonálních směrech; vlastní čísla mají charakteristický vzor (-2,1,1). Například družice na oběžné dráze kolem Země zažije mírnou radiální expanzi a mírnou ortogonální kompresi. Stejně jako v Newtonově gravitaci se slapové pole zmenšuje jako, kde je vzdálenost od gravitujícího tělesa. $O(r^{{-3}})$ $r$

Pokud se těleso otáčí kolem nějaké osy, pak se kromě slapových efektů objeví různé gravitomagnetické efekty , jako je spin-spin interakce působící na gyroskopy pozorovatele . V Kerrově vakuu , které je typickým příkladem vakuového pole typu D , se tato část pole rozpadá jako . $O(r^{{-4}})$

Oblasti typu III jsou spojeny s podélnou částí časově proměnlivého gravitačního pole (někdy nazývaného podélné gravitační záření). V těchto oblastech mají slapové síly charakter posunů. Jedná se o poměrně málo prozkoumaný typ pole, částečně proto, že gravitační záření vznikající při slabé aproximaci pole je typu N , protože pole typu III klesá jako , tedy mnohem rychleji než záření typu N , a tudíž neklesá. opustit zdroj. $O(r^{{-2}})$

Oblasti typu N jsou spojeny s příčným gravitačním zářením , které astronomové zaznamenali v roce 2015 . Čtyřnásobný izotropní směr odpovídá vlnovému vektoru popisujícímu směr šíření záření. Amplituda záření obvykle klesá s , takže gravitační pole vzdáleného zdroje je vždy radiační a má typ N . $O(r^{{-1}})$

Typ II kombinuje účinky polí typu D , III a N poměrně složitým nelineárním způsobem.

Oblasti typu O nebo konformně euklidovské oblasti jsou oblasti, ve kterých je Weilův tenzor shodně roven nule. V tomto případě je tenzor zakřivení čistý Ricci . V konformně euklidovských oblastech vznikají jakékoli gravitační efekty pouze díky okamžité přítomnosti hmoty nebo energie nějakého negravitačního pole (například elektromagnetického pole ). V jistém smyslu to znamená, že žádné vzdálené objekty neovlivňují dění v této oblasti; přesněji řečeno, pokud existuje nějaká gravitační dynamika v odlehlých oblastech, zprávy o ní ještě nedosáhly uvažované konformní euklidovské zóny.

Gravitační pole a potažmo gravitační záření emitované izolovaným systémem nebude obecně algebraicky zvláštní v konečné vzdálenosti od zdroje. Rozdělovací teorém popisuje, jak se různé typy pole „oddělují“, když se pozorovatel vzdaluje od zdroje záření, dokud na velké vzdálenosti nezůstane pouze záření typu N. Podobná věta existuje v elektromagnetismu.

Příklady

Pro některá přesná řešení Einsteinových rovnic má Weylův tenzor v každém bodě světa stejný typ :

Kerrova metrika ve vakuu je typu D ,
Robinson-Trautmanův vesmír - typ III ,
pp-waves jsou typu N ,
Friedman-Robertson-Walkerova metrika je všude typu O.

Obecně platí, že libovolný sféricky symetrický časoprostor musí být algebraicky speciální a jakýkoli statický časoprostor musí být typu D .

Literatura

Ze sekce relativity Archivováno 14. července 2007 na Wayback Machine ve World of Mathematical Equations -- EqWorld Archived 3. října 2008 na Wayback Machine :