Kovariance

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 13. dubna 2022; kontroly vyžadují 7 úprav .

Kovariance nebo korelační moment náhodných veličin - v teorii pravděpodobnosti a matematické statistice míra závislosti dvou náhodných veličin . $\mathrm {cov} (X,Y)$

V teorii pravděpodobnosti a statistice je kovariance mírou společné variability dvou náhodných proměnných. Pokud velké hodnoty jedné proměnné většinou odpovídají velkým hodnotám jiné proměnné a totéž platí pro menší hodnoty (to znamená, že proměnné mají tendenci vykazovat stejné chování), je kovariance kladná. opačný případ, kdy velké hodnoty jedné proměnné většinou odpovídají menším hodnotám druhé (tj. proměnné mají tendenci vykazovat opačné chování), je kovariance záporná. Znaménko kovariance tedy ukazuje tendenci k lineárnímu vztahu mezi proměnnými. Hodnotu kovariance není snadné interpretovat, protože není normalizovaná, a proto závisí na hodnotách proměnných. Nicméně normalizovaná verze kovariance, korelační koeficient, svou hodnotou ukazuje sílu lineárního vztahu.

Definice

Dovolit být dvě náhodné proměnné definované na stejném pravděpodobnostním prostoru . Pak je jejich kovariance definována takto: $X,Y$

{\mathrm {cov}}(X,Y)={\mathbb {M}}\left[(X-{\mathbb {M}}X)(Y-{\mathbb {M}}Y)\vpravo]

kde je matematické očekávání (v anglickojazyčné literatuře se akceptuje označení ). ${\mathbb {M}}$ ${\mathbb {E}}$

Předpokládá se, že jsou definována všechna matematická očekávání na pravé straně tohoto výrazu. ${\mathbb {M}}$

Poznámky

Pokud , to znamená, že mají konečný druhý moment , pak je kovariance definovaná a konečná. $X,Y\in L^{2}$
V Hilbertově prostoru nezaujatých náhodných proměnných s konečným druhým momentem má kovariance podobu a hraje roli vnitřního produktu . $L_{0}^{2}\equiv \{X\in L^{2}\mid {\mathbb {M}}X=0\}$ ${\mathrm {cov}}(X,Y)={\mathbb {M}}[XY]$

Vzorový koeficient kovariance

Nechť je vzorek objemu , je vzorek objemu a jsou generovány náhodnými proměnnými definovanými na stejném pravděpodobnostním prostoru . Koeficient kovariance vzorku je pak průměrná hodnota součinů odchylek hodnot od průměrných hodnot odpovídajících vzorků [1] : ${\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n))$ $X$ $n$ ${\displaystyle Y_{1},Y_{2},...,Y_{n))$ $Y$ $n$

${\overline {s}}_{XY}=\mathrm {cov} (X,Y)={1 \over n}\sum _{t=1}^{n}\left(X_{t }-{\overline {X}}\right)\left(Y_{t}-{\overline {Y}}\right)$ ,

kde průměr vzorku (také nazývaný průměr vzorku) je určen vzorcem:

{\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{t=1}^{n}X_{t}

{\overline {Y}}={\frac {1}{n}}\součet _{t=1}^{n}Y_{t}

Pokud otevřete závorky a použijete vzorec pro průměr vzorku, pak:

$\mathrm {cov} (X,Y)={\frac {1}{n}}\sum _{t=1}^{n}X_{t}Y_{t}-\left({\ frac {1}{n}}\součet _{t=1}^{n}X_{t}\vpravo)\left({\frac {1}{n}}\součet _{t=1}^{ n}Y_{t}\right)={\frac {1}{n}}\součet _{t=1}^{n}X_{t}Y_{t}-{\overline {X}}{\ overline {Y}}$ .

Vlastnosti

Pokud jsou nezávislé náhodné proměnné, pak $X,Y$ ${\mathrm {cov}}(X,Y)=0$ .
Opačné tvrzení však obecně řečeno není pravdivé: nezávislost nevyplývá z absence kovariance. Příklad: Nechť náhodná proměnná nabývá hodnot , každá s pravděpodobností . Pak bude mít hodnoty -1, 0 a 1, každá s pravděpodobností , a . Pak ale $Z$ $0,{\frac {\pi }{2)),\pi$ ${\frac 13}$ $\cos{Z}$ ${\frac 13}$ $P(\sin {Z}=1)={\frac 13},P(\sin {Z}=0)={\frac 23},P(\sin {Z}=-1)=0$ ${\mathrm {cov}}(\sin {Z},\cos {Z})=0$ $0=P(\sin {Z}=1,\cos {Z}=1)\neq P(\cos {Z}=1)P(\sin {Z}=1)={\frac 19}$
Kovariance náhodné veličiny sama se sebou je rovna rozptylu : . ${\mathrm {cov}}(X,X)={\mathrm {D}}[X]$
Kovariance je symetrická: ${\mathrm {cov}}(X,Y)={\mathrm {cov}}(Y,X)$ .
Vzhledem k linearitě matematického očekávání lze kovarianci zapsat jako ${\mathrm {cov}}(X,Y)={\mathbb {M}}\left[XY-X{\mathbb {M}}YY{\mathbb {M}}X+{\mathbb {M}}X {\mathbb {M}}Y\right]=$
$\;=\mathbb {M} \left[XY\right]-\mathbb {M} X\mathbb {M} Y-\mathbb {M} X\mathbb {M} Y+\mathbb {M} X \mathbb {M} Y=$
$\;=\mathbb {M} \left[XY\right]-\mathbb {M} X\mathbb {M} Y$ .
Nechť náhodné proměnné a jsou jejich dvě libovolné lineární kombinace . Pak $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $Y_{1}=\sum \limits _{{i=1}}^{n}a_{i}X_{i},\;Y_{2}=\součet \limits _{{j=1}}^ {m}b_{j}X_{j}$ ${\mathrm {cov}}(Y_{1},Y_{2})=\sum \limits _{{i=1}}^{n}\sum \limits _{{j=1}}^{m }a_{i}b_{j}{\mathrm {cov}}(X_{i},X_{j})$ .

Zejména kovariance (na rozdíl od korelačního koeficientu ) není při změně měřítka invariantní, což není v aplikacích vždy vhodné.

Pokud a jsou čísla, pak $\alpha$ $\beta$ ${\mathrm {cov}}(X+\alpha ,Y+\beta )={\mathrm {cov}}(X,Y)$ .
Cauchyho-Bunyakovského nerovnost : vezmeme-li kovarianci jako skalární součin dvou náhodných veličin , pak druhá mocnina normy náhodné veličiny bude rovna rozptylu a Cauchyho-Bunyakovského nerovnost bude zapsána jako: $\langle X,Y\rangle =\mathrm {cov} (X,Y)$ $\|X\|^{2}={\mathrm {D}}[X]$ ${\mathrm {cov}}^{2}(X,Y)\leqslant {\mathrm {D}}[X]\cdot {\mathrm {D}}[Y]$ .

Korelační koeficient

Podle absolutní hodnoty kovariance nelze posoudit, jak silně jsou hodnoty propojeny , protože škála kovariance závisí na jejich rozptylech . Hodnotu kovariance lze normalizovat jejím dělením součinem směrodatných odchylek (druhých odmocnin rozptylů) náhodných veličin. Výsledná hodnota se nazývá Pearsonův korelační koeficient , který je vždy v rozsahu od -1 do 1: $\mathbf {r} (X,Y)$

{\displaystyle \mathbf {r} (X,Y)={\frac {\mathrm {cov} (X,Y)}{\sigma _{X}\sigma _{Y))))

, kde je směrodatná odchylka.

\sigma

resp.

{\displaystyle \mathrm {cov} (X,Y)=\mathbf {r} (X,Y)\cdot \sigma _{X}\sigma _{Y))

[2] .

Náhodné proměnné, které mají nulovou kovarianci, se nazývají nekorelované . Nezávislé náhodné proměnné jsou vždy nekorelované. Opačné tvrzení není vždy pravdivé. Platí pro normálně rozdělené náhodné veličiny.

Viz také

Kovarianční matice je zobecněním konceptu kovariance pro vektory náhodných veličin
Korelace
Rozptyl náhodné veličiny

Poznámky

↑ Melnikov R.M. Ekonometrie. Tutorial
↑ Korelační koeficient . Získáno 8. prosince 2011. Archivováno z originálu 17. prosince 2011. (neurčitý)

Odkazy

Weisstein, Eric W. Covariance (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .