Zhutňování

Kompaktifikace je operace, která transformuje topologické prostory na kompaktní prostory .

Definice

Formálně je zhutnění prostoru definováno jako pár , kde je kompaktní, vložení takové, které je husté v . $X$ $(Y,\;f)$ $Y$ $f:X \do Y$ $f(X)$ $Y$

Příklady

Skutečná projektivní rovina je jedním z kompaktifikací euklidovské roviny . Jeho další (jednobodová) kopaktifikace je homeomorfní ke kouli.

Jednobodové zhutnění

Jednobodové zhutňování (nebo Alexandrovovo zhutňování ) je uspořádáno následovně. Let a open množiny v jsou všechny otevřené množiny , stejně jako množiny tvaru , kde má uzavřený a kompaktní (v ) doplněk. je brána jako přirozené zakotvení v . pak kompaktifikace je Hausdorff tehdy a jen tehdy, když je Hausdorff a lokálně kompaktní . $Y=X \cup \{\infty\}$ $Y$ $X$ $O \cup \{\infty\}$ $O\subseteq X$ $X$ $F$ $X$ $Y$ $(Y,\;f)$ $Y$ $X$

Příklady

$\R \cup \{\infty\}$ s topologií konstruovanou jako výše je kompaktní prostor. Je snadné dokázat, že pokud jsou dva prostory homeomorfní, pak odpovídající jednobodové zhutnění jsou také homeomorfní.
- Zejména, protože kruh v rovině bez jednoho bodu je homeomorfní k c (příkladem homeomorfismu je stereografická projekce ), celý kruh je homeomorfní k c . $\mathbb {R}$ $\R \cup \{\infty\}$
- Podobně homeomorfně - rozměrná koule . $\mathbb R^n \cup \{\infty\}$ $n$

Stone-Cech kompaktifikace

Při zhutňování určitého pevného prostoru lze zavést částečný řád . Nechť pro dvě kompaktifikace , , pokud existuje spojité zobrazení takové, že . Maximální (až do homeomorfismu ) prvek v tomto řádu se nazývá Stone-Cechova kompaktifikace [1] a označuje se . Aby prostor měl Stone-Cechovu kompaktifikaci, která splňuje Hausdorffův separační axiom , je nutné a postačující , aby vyhovoval separačnímu axiomu , tedy byl zcela pravidelný . $X$ $f_1 \leqslant f_2$ $f_1: X\až Y_1$ $f_2: X\až Y_2$ $g: Y_2 \to Y_1$ $g f_2 = f_1$ $\beta X$ $X$ $X$ $T_{3\frac{1}{2}}$

Poznámky

↑ Také "Stonechech compactification" a "Chechstone compactification".