Komplexní amplituda

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 21. září 2015; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Komplexní amplituda (fázor) je komplexní hodnota , jejíž modul a argument se rovnají amplitudě a počáteční fázi harmonického signálu .

Definice

Nechť existuje harmonický signál:

$a(t)=A\cos \left(\omega t+\phi \right)$

Je algebraicky nepohodlné provádět takové aritmetické operace se signály zapsanými v takové formě, jako je sčítání dvou signálů nebo odečítání dalšího signálu od jednoho signálu. Pro usnadnění těchto operací jsou harmonické signály reprezentovány jako komplexní číslo, jehož modul se rovná amplitudě signálu a argumentem je fáze signálu. V tomto případě je původní signál a(t) roven reálné části daného komplexního čísla b(t):

$a(t) = \Re(b(t))$ ,

kde $b(t) = A e^{i( \omega t + \phi )} = A e^{i\phi} e^{i \omega t} = \hat A e^{i \omega t}$

Zde je komplexní amplituda harmonického signálu následující výraz:

${\hat A}=Ae^{{i\phi ))$

Fyzický význam

Algebraický tvar

Uvažujeme-li komplexní amplitudu jako komplexní číslo v algebraickém tvaru, pak reálná část odpovídá amplitudě kosinové (soufázové) složky a imaginární část odpovídá amplitudě sinusové (kvadraturní) složky originálu. signál. Takže pro signál (1) máme: $a(t)=\Re ({\hat A})\cos(\omega t)-\Im ({\hat A})\sin(\omega t)$

kde $\Re ({\hat A})=A\cos(\phi ),\quad \Im ({\hat A})=A\sin(\phi )$

Trigonometrický tvar

Pokud uvažujeme komplexní amplitudu jako komplexní číslo v goniometrickém tvaru, pak modul odpovídá amplitudě původního harmonického signálu a argument odpovídá fázovému posunu původního harmonického signálu vzhledem k signálu . $\cos {(\omega t)}$

Operace na komplexní amplitudě

Lineární operace lze aplikovat na signály v prostoru komplexních amplitud. Jinými slovy, následující operace na komplexních amplitudách:

násobení komplexní amplitudy konstantou
sčítání komplexních amplitud (odpovídajících stejné frekvenci)
odečítání komplexních amplitud (odpovídajících stejné frekvenci)
integrace komplexní amplitudy v čase
diferenciace komplexní amplitudy s ohledem na čas

vedou ke stejnému výsledku, jako kdyby byly provedeny na odpovídajících harmonických signálech, a pak se z nich vezme komplexní amplituda.

Omezení

Ačkoli výraz pro komplexní amplitudu nezahrnuje frekvenci ω harmonického signálu, je třeba mít na paměti, že komplexní amplituda popisuje harmonický signál specifické frekvence . Proto jsou v prostoru komplexních amplitud nepřijatelné operace, které:

brát jako operandy komplexní amplitudy popisující harmonické signály různých frekvencí.
změnit frekvenci harmonického signálu nebo generovat nové frekvence (všechny nelineární operace, jako je násobení dvou signálů).

Aplikace

Komplexní amplituda je úplný a velmi pohodlný způsob, jak popsat harmonické signály, protože:

Charakterizuje amplitudu i fázi
Neobsahuje časovou závislost
Umožňuje použití vektorových diagramů pro analýzu střídavých obvodů

Použití komplexních amplitud a impedancí umožňuje redukovat problém průchodu harmonického signálu lineárním obvodem (popsaným systémem diferenciálních rovnic ) na jednodušší problém ekvivalentní analýze obvodu stejnosměrných rezistorů ( popsaný soustava algebraických rovnic ).