Konečné rozdíly

Konečný rozdíl je matematický termín, který se široce používá ve výpočetních metodách pro interpolaci a numerickou derivaci .

Definice

Nechť jsou pro nějaký bod specifikovány interpolační uzly s krokem a hodnoty funkce v těchto uzlech jsou známé: $x_{0}$ $n+1$ $x_{k}=x_{0}+hk,\;k=0,\ldots ,n$ $h=\mathrm {const}$ $F$

f(x_{0})=y_{0},\ldots ,f(x_{n})=y_{n}.

Pak vzestupný konečný rozdíl (nebo dopředný rozdíl) 1. řádu je rozdíl mezi -tou a -tou hodnotou v uzlech interpolace, to je [1] $(k+1)$ $k$ $F$

\Delta y_{k}=y_{k+1}-y_{k}=f(x_{k+1})-f(x_{k}),\ k=0,\ldots ,n- jeden.

Sestupný konečný rozdíl (nebo zpětný rozdíl) 1. řádu je rozdíl mezi -tou a -tou hodnotou v uzlech interpolace, to je [1] $k$ $(k-1)$ $F$

\nabla y_{k}=y_{k}-y_{k-1}=f(x_{k})-f(x_{k-1}),\ k=1,\ldots ,n.

Centrální (nebo symetrický) konečný rozdíl 1. řádu je rozdíl mezi -tou a -tou hodnotou v uzlech interpolace, to je [1] $(k+1)$ $(k-1)$ $F$

\delta \,y_{k}=y_{k+1}-y_{k-1}=f(x_{k+1})-f(x_{k-1}),\ k=1 ,\ldots ,n-1.

Rozdíly vyšších řádů

Vzestupný konečný rozdíl 2. řádu je rozdíl mezi -tým a -tým konečným rozdílem 1. řádu, tzn. $(k+1)$ $k$

\Delta ^{2}y_{k}=\Delta (\Delta y_{k})=\Delta y_{k+1}-\Delta y_{k}=f(x_{k+2}) -2f(x_{k+1})+f(x_{k}),\ k=0,\ldots ,n-2.

Vzestupný konečný rozdíl řádu (pro ) je tedy rozdílem mezi -tým a -tým konečným rozdílem řádu , to je [1] $m$ $m\leq n$ $(k+1)$ $k$ $m-1$

\Delta ^{m}y_{k}=\Delta (\Delta ^{m-1}y_{k})=\Delta ^{m-1}y_{k+1}-\Delta ^{ m-1}y_{k},\ k=0,\ldots ,nm.

Sestupné a centrální rozdíly vyšších řádů jsou definovány podobně [1] :

\nabla ^{m}y_{k}=\nabla (\nabla ^{m-1}y_{k}),

\delta ^{m}y_{k}=\delta (\delta ^{m-1}y_{k}).

Prostřednictvím operátorů

Pokud zavedeme operátor posunu takový, že , pak můžeme definovat vzestupný operátor konečné diference jako . Pro něj vztah $\operatorname {E}$ $\operatorname {E}y_{k}=y_{{k+1}}$ $\Delta$ $\operatorname {E} -1$

\Delta ^{k}=(\jméno operátora {E}-1)^{k}

které lze rozšířit z hlediska Newtonova binomu . Tento způsob zobrazení znatelně zjednodušuje práci s konečnými rozdíly vyšších řádů [2] . $\Delta$

Obecné vzorce

Často se také používá jiný zápis: je vzestupný konečný řádový rozdíl funkce s krokem , zaujatý v bodě . Například . Podobně pro sestupné rozdíly lze použít zápis , a pro centrální . $\Delta _{h}^{m}(f,x)$ $m$ $F$ $h$ $X$ $\Delta _{h}^{1}(f,x)=f(x+h)-f(x)$ $\nabla _{h}^{m}(f,x)$ $\delta _{h}^{m}(f,x)$

V těchto zápisech lze napsat obecné vzorce pro všechny typy konečných diferencí libovolného řádu pomocí binomických koeficientů [3] :

\Delta _{h}^{m}(f,x)=\sum _{i=0}^{m}(-1)^{mi}C_{m}^{i}f{\ bigl (}x+ih{\bigr )},

\nabla _{h}^{m}(f,x)=\sum _{i=0}^{m}(-1)^{i}C_{m}^{i}f(x -ih),

\delta _{h}^{m}(f,x)=\sum _{i=0}^{m}(-1)^{i}C_{m}^{i}f\left (x+\left({\frac {m}{2}}-i\vpravo)h\vpravo).

Obecný vzorec pro se používá při konstrukci Newtonova interpolačního polynomu . $\Delta _{h}^{m}(f,x)$

Příklad

Výše uvedený obrázek ukazuje příklad výpočtu konečných rozdílů pro

{\begin{array}{rcl}f(x)&=&2x^{3}-2x^{2}+3x-1,\\x_{0}&=&0,\\n&=&3, \\h&=&1.\end{array}}

Hodnoty jsou umístěny v zelených buňkách , v každém následujícím řádku jsou uvedeny konečné rozdíly odpovídajícího pořadí. $y_{0},\ldots ,y_{n}$

Spojení s derivacemi

Derivace funkce v bodě je definována pomocí limity : $F$ $X$

f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h)).

Pod mezním znakem je vzestupný konečný rozdíl dělený krokem. Proto se tento zlomek aproximuje derivaci po malých krocích. Chybu aproximace lze získat pomocí Taylorova vzorce [4] : $\Delta _{h}^{1}(f,x)$

{\frac {\Delta _{h}^{1}(f,x)}{h}}-f'(x)=O(h)\to 0,\;h\to 0.

Podobný vztah platí pro sestupný rozdíl:

{\frac {\nabla _{h}^{1}(f,x)}{h}}-f'(x)=O(h)\to 0,\;h\to 0.

Centrální rozdíl poskytuje přesnější aproximaci:

{\frac {\delta _{h}^{1}(f,x)}{h}}-f'(x)=O\left(h^{2}\right),\;h \to 0.

Rozdíly konečného řádu , dělené krokem zvednutým na mocninu , se blíží derivaci řádu . Pořadí aproximační chyby se nemění [5] : $m$ $m$ $m$

{\frac {d^{m}f}{dx^{m}}}(x)={\frac {\Delta _{h}^{m}(f,x)}{h^{ m}}}+O(h)={\frac {\nabla _{h}^{m}(f,x)}{h^{m}}}+O(h)={\frac {\delta _{h}^{m}(f,x)}{h^{m}}}+O\left(h^{2}\vpravo).

Související pojmy

Je vidět, že konečný rozdíl v pevném kroku je lineární operátor , který do sebe mapuje prostor spojitých funkcí. Zobecnění představy o konečném rozdílu je pojetí operátora rozdílu .

Koncepty dělených rozdílů a modul spojitosti jsou také spojovány s konečnými rozdíly .

Poznámky

↑ 1 2 3 4 5 Bakhvalov a kol., 2011 , str. 65.
↑ Korn G. A., Korn T. M. Příručka matematiky pro vědce a inženýry . - M .: " Nauka ", 1974. - S. 669-670.
↑ Bakhvalov et al., 2011 , s. 66.
↑ Bakhvalov et al., 2011 , s. 81.
↑ Bakhvalov et al., 2011 , s. 82.

Literatura

Bakhvalov, N. S. , Zhidkov, N. P. , Kobelkov, G. M. Numerické metody. - 7. vyd. -M .: BINOM. Vědomostní laboratoř, 2011. - 636 s. -ISBN 978-5-9963-0449-3.
Korn G. A., Korn T. M. Příručka matematiky pro vědce a inženýry . - M .: " Nauka ", 1974.

Viz také

Koeficienty numerických derivačních vzorců
Lineární rekurentní posloupnost - řešení nejjednoduššího typu diferenční rovnice
Metoda konečných rozdílů
Newtonovy interpolační vzorce
Dělený rozdíl
Binomické transformace