Kuželové souřadnice

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 25. února 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Kuželosečky jsou trojrozměrný ortogonální souřadnicový systém sestávající ze soustředných koulí (poloměr r ) a dvou rodin kolmých kuželů nasměrovaných podél os z a x .

Základní definice

Kuželosečky jsou definovány výrazy $(r,\mu ,\nu )$

x={\frac {r\mu \nu }{bc)),

y={\frac {r}{b}}{\sqrt {\frac {\left(\mu ^{2}-b^{2}\right)\left(\nu ^{2}- b^{2}\right)}{\left(b^{2}-c^{2}\right)}}},

z={\frac {r}{c}}{\sqrt {\frac {\left(\mu ^{2}-c^{2}\right)\left(\nu ^{2}- c^{2}\right)}{\left(c^{2}-b^{2}\right)}}},

zatímco na souřadnice jsou uvalena omezení

\nu ^{2}<c^{2}<\mu ^{2}<b^{2}.

Plochy konstanty r jsou koule o poloměru r se středem v počátku:

x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},

plochy konstant a jsou vzájemně kolmé kužely : $\mu$ $\nu$

{\frac {x^{2}}{\mu ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\mu ^{2}+b^{2}}}+{ \frac {z^{2}}{\mu ^{2}-c^{2}}}=0

{\frac {x^{2}}{\nu ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\nu ^{2}-b^{2}}}+{ \frac {z^{2}}{\nu ^{2}+c^{2}}}=0.

Měřítko

Měřítko pro poloměr r je jedna ( h r = 1 ), stejně jako u sférických souřadnic. Pro kuželosečky jsou měřítkové faktory

h_{\mu }=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^{2)){\left(b^{2}-\mu ^{2}\right) \left(\mu ^{2}-c^{2}\right)}}}

h_{\nu }=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^{2)){\left(b^{2}-\nu ^{2}\right) \left(c^{2}-\nu ^{2}\right)}}}.

Další definice

Existuje další sada kuželových souřadnic: [1]

${\begin{aligned}\xi &=r\cos \phi \sin \theta ,\\\psi &=r\sin \phi \sin \theta ,\\\zeta &=\theta ,\end {zarovnaný}}$

kde jsou sférické polární souřadnice. Zpětná konverze: ${\displaystyle \{r,\theta ,\phi \))$

${\begin{aligned}r&={\sqrt {\xi ^{2}+\psi ^{2}}},\\\phi &={\frac {1}{\sin \zeta }} \operatorname {arctg} ({\frac {\psi }{\xi )),\\\theta &=\zeta .\end{aligned))$

Malá euklidovská vzdálenost mezi dvěma body v daných souřadnicích:

{\begin{aligned}ds^{2}&=d\xi ^{2}+d\psi ^{2}+(\xi ^{2}+\psi ^{2})(1+ \operatorname {arctg} ({\frac {\psi }{\xi )))^{2}\operatorname {ctg} \zeta ^{2})d\zeta ^{2}+\\&+2\psi \operatorname {arctg} ({\frac {\psi }{\xi )))\operatorname {ctg} \zeta d\xi d\zeta -2\xi \operatorname {arctg} ({\frac {\psi }{ \xi }})\jméno operátora {ctg} \zeta d\psi d\zeta .\end{aligned}}

Pokud je dráha mezi dvěma body omezena povrchem kužele daným vztahem , pak geodetická vzdálenost mezi dvěma body a je vyjádřena jako $\zeta ={\frac {\pi }{4))$ ${\displaystyle \{\xi _{1},\psi _{1},\zeta _{1}={\frac {\pi }{4))\))$ ${\displaystyle \{\xi _{2},\psi _{2},\zeta _{2}={\frac {\pi }{4))\))$ $s_{12}^{2}=(\xi _{1}-\xi _{2})^{2}+(\psi _{1}-\psi _{2})^{2 }.$

Poznámky

↑ Drake, Samuel Picton; Anderson, Brian D.O.; Yu, Changbine. Kauzální asociace elektromagnetických signálů pomocí Cayley-Mengerova determinantu (anglicky) // Applied Physics Letters : journal. - 2009. - 20. července ( roč. 95 , č. 3 ). — S. 034106 . — ISSN 0003-6951 . - doi : 10.1063/1.3180815 .

Literatura

Morse PM, Feshbach H. Metody teoretické fyziky, část I (neopr.) . - New York: McGraw-Hill Education , 1953. - S. 659. - ISBN 0-07-043316-X .
Margenau H., Murphy GM Matematika fyziky a chemie (nespecifikováno) . - New York: D. van Nostrand, 1956. - S. 183-184 .
Korn GA, Korn TM Matematická příručka pro vědce a inženýry (anglicky) . - New York: McGraw-Hill Education , 1961. - S. 179.
Sauer R., Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs (neopr.) . - New York: Springer Verlag , 1967. - S. 991-100.
Arfken G. Matematické metody pro fyziky (neurčité) . — 2. - Orlando, FL: Academic Press , 1970. - s. 118-119.
Moon P., Spencer DE Kuželové souřadnice (r, θ, λ) // Příručka teorie pole, včetně souřadnicových systémů, diferenciálních rovnic a jejich řešení (anglicky) . opraveno 2. vyd., 3. tisk. - New York: Springer-Verlag , 1988. - S. 37-40 (tabulka 1.09). — ISBN 978-0-387-18430-2 .

Odkazy

Popis kuželoseček v MathWorld

Souřadnicové systémy
Název souřadnic	Úsečka Ordinovat Nášivka
Typy souřadnicových systémů	Přímočarý souřadnicový systém Křivočarý souřadnicový systém
2D souřadnice	Dvojúhelníkové souřadnice Bicentrické souřadnice Hyperbolické souřadnice Polární souřadnice Bipolární souřadnice Parabolické souřadnice Eliptické souřadnice Tetracyklické souřadnice Trilineární souřadnice
3D souřadnice	Válcové souřadnice Sférické souřadnice Bisférické souřadnice Toroidní souřadnice Válcové parabolické souřadnice Bicylindrické souřadnice Elipsoidní souřadnice Kuželové souřadnice Pentasférické souřadnice Dipolární souřadnicový systém
$n$ -rozměrné souřadnice	Kartézské souřadnice Afinní souřadnice Projektivní souřadnice Plückerovy souřadnice barycentrické souřadnice
Fyzické souřadnice	Rindlerovy souřadnice Rodné souřadnice Nebeský souřadnicový systém Zeměpisné souřadnice Hlavní ortodromický souřadnicový systém
Související definice	Souřadnicová metoda Původ Souřadnicová osa Vektor Orth referenční systém Benchmark Kulhavé koeficienty Metrický tenzor