Konstruktivní způsoby definování reálného čísla

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 22. srpna 2021; kontroly vyžadují 3 úpravy .

S konstruktivním přístupem k definici reálného čísla jsou reálná čísla stavěna na základě racionálních , která jsou považována za daná. Ve všech třech následujících metodách jsou racionální čísla brána jako základ a jsou konstruovány nové objekty, nazývané iracionální čísla . V důsledku jejich doplnění množiny racionálních čísel dostaneme množinu reálných čísel.

Cantorova teorie základních posloupností

Níže popsaný přístup k definici reálných čísel navrhl G. Kantor v článku publikovaném v roce 1872 [1] . Podobné myšlenky vyjádřili E. Heine a S. Mere .

Cauchyho konvergenční kritérium a jeho použití Cantorem

Výchozím bodem Cantorovy teorie byla následující myšlenka [2] . Jakékoli reálné číslo může být dáno posloupností racionálních čísel

a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},\ldots

představující aproximace k tomuto reálnému číslu se zvyšující se mírou přesnosti, to znamená k tomuto číslu konvergující .

Rozumějme nyní reálné číslo jako nějaký objekt definovaný konvergentní posloupností racionálních čísel . $\alpha$ $a_{1},a_{2},\ldots$

Zde se však skrývá začarovaný kruh . V definici konvergentní posloupnosti se jedná o reálné číslo, které je její limitou – přesně ten pojem, který chceme pomocí konvergentních posloupností definovat:

$\{a_{n}\}$ konverguje existuje , takové, že $\Dlouhá šipka doprava$ $\alpha \in \mathbb{R}$ $\lim _{{n\to \infty }}a_{n}=\alpha$

Abychom se nedostali do začarovaného kruhu, je nutné mít nějaké znaménko, které umožňuje vyjádřit podmínku konvergence posloupnosti z hlediska jejích členů, tedy bez řeči o samotném významu limity posloupnosti . .

V době Cantora bylo takové kritérium již nalezeno. V obecné podobě ji založil francouzský matematik O. Cauchy [3] . Podle Cauchyho kritéria posloupnost konverguje tehdy a jen tehdy $a_{1},a_{2},\ldots$

\forall \varepsilon >0\;\existuje N(\varepsilon )\;\forall n>N(\varepsilon )\;\forall m>0\;|a_{{n+m}}-a_{n}| <\varepsilon

Obrazně řečeno, podmínkou konvergence posloupnosti v Cauchyho kritériu je, že její členy od určitého čísla budou ležet libovolně blízko sebe.

Samozřejmě, že Cauchy nebyl schopen poskytnout žádné přesné zdůvodnění tohoto kritéria kvůli absenci teorie reálného čísla.

Kantor v jistém smyslu vše obrátil vzhůru nohama. Upozornil na skutečnost, že tento znak sám o sobě charakterizuje vnitřní vlastnosti konvergentní posloupnosti: lze jej formulovat a ověřit, aniž bychom mluvili o samotném reálném čísle, které je limitou této posloupnosti. A proto lze tuto vlastnost použít ke zvýraznění třídy posloupností, pomocí kterých lze určit reálná čísla .

Hlavním krokem, který Cantor při konstruování teorie reálného čísla podnikne, je tedy to, že jakoukoli posloupnost racionálních čísel , která splňuje Cauchyho podmínku, považuje za definující nějaké (racionální nebo iracionální) reálné číslo. $a_{1},a_{2},\ldots$

Když mluvím o číselné veličině v zobecněném smyslu, dochází k tomu především v případě, kdy je navržena nekonečná posloupnost racionálních čísel.

a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},\ldots

daný nějakým zákonem a mající vlastnost, že rozdíl se stává nekonečně malým jako , ať už je kladné celé číslo jakékoli , nebo jinými slovy, že pro libovolně zvolené (kladné racionální) celé číslo existuje takové , že , a je jakékoli kladné celé číslo. $a_{{n+m}}-a_{n}$ $n$ $m$ $\varepsilon$ $n$ $|a_{{n+m}}-a_{n}|<\varepsilon$ $m$ G. Kantor [1]

V moderní terminologii se sekvence, která splňuje Cauchyho podmínku, nazývá Cauchyova sekvence nebo základní sekvence .

Konstrukce teorie reálných čísel podle Cantora

Dvě základní posloupnosti a mohou definovat stejné reálné číslo. To se děje za podmínky $\{a_{n}\}$ $\{b_{n}\}$

\forall \varepsilon >0\;\existuje N(\varepsilon )\;\forall n>N(\varepsilon )\;|a_{n}-b_{n}|<\varepsilon

Na množině všech základních posloupností racionálních čísel je tedy ustaven vztah ekvivalence a v souladu s obecným principem jsou všechny základní posloupnosti rozděleny do tříd ekvivalence . Význam tohoto rozdělení je takový, že sekvence ze stejné třídy určují stejné reálné číslo, zatímco sekvence z různých tříd určují různá. Existuje tedy korespondence jedna ku jedné mezi reálnými čísly a třídami základních posloupností racionálních čísel.

Nyní můžeme formulovat hlavní definici Cantorovy teorie reálných čísel.

Definice. Reálné číslo je třída ekvivalence základních posloupností racionálních čísel.

Reálné číslo (třída ekvivalence) definované základní posloupností racionálních čísel se značí . $\{a_{n}\}$ $[a_{n}]$

Aritmetické operace s reálnými čísly jsou zavedeny následovně. Pokud jsou dvě reálná čísla a jsou dány , definované základními posloupnostmi a , Tak, že $\alpha$ $\beta$ $\{a_{n}\}$ $\{b_{n}\}$

$\alpha =[a_{n}]$ a $\beta =[b_{n}]$

pak součet je reálné číslo definované posloupností , tedy třídou ekvivalence obsahující tuto posloupnost: $\alpha$ $\beta$ $\{a_{n}+b_{n}\}$

\alpha +\beta {\overset {{\text{def}}}{=}}[a_{n}+b_{n}]

Je snadné zkontrolovat, zda je tato definice správná, to znamená, že nezávisí na výběru konkrétních sekvencí z třídy a ze třídy . $\{a_{n}\}$ $\alpha$ $\{b_{n}\}$ $\beta$

Rozdíl, součin a podíl reálných čísel jsou definovány obdobně.

Reálné číslo je podle definice větší než číslo , tedy pokud $\alpha =[a_{n}]$ $\beta =[b_{n}]$ $\alpha >\beta$

\exists \varepsilon >0\;\exists N\;\forall n>N\;a_{n}\geqslant b_{n}+\varepsilon

Tato definice nezávisí na výběru sekvencí ze třídy a ze třídy . $\{a_{n}\}$ $\alpha$ $\{b_{n}\}$ $\beta$

Soustava racionálních čísel je zahrnuta do soustavy reálných čísel pomocí dodatečné dohody, podle níž posloupnost

a,a,\ldots a,\ldots

jehož všechny členy jsou rovny stejnému racionálnímu číslu , určuje toto číslo samo, takže . Jinými slovy, každá třída obsahující stacionární sekvenci je označena číslem . Sestrojená množina reálných čísel je tedy rozšířením množiny racionálních. $A$ $[a]{\overset {{\text{def}}}{=}}a$ $[A]$ $a,a,\ldots a,\ldots$ $A$

Tím je konstrukce množiny reálných čísel dokončena. Dále lze na základě zavedených definic dokázat známé vlastnosti reálných čísel.

Úplnost množiny reálných čísel

Z definice vyplývá, že každá základní posloupnost racionálních čísel konverguje k nějakému reálnému číslu. Tento princip je základem definice reálného čísla. Díky němu byla množina racionálních čísel doplněna o nové prvky - iracionální čísla - limity základních posloupností racionálních čísel, které ve staré množině racionálních čísel neměly žádnou limitu.

Vyvstává přirozená otázka, zda je možné znovu provést podobnou doplňovací proceduru již pro sestrojenou množinu reálných čísel: vytvořit základní posloupnosti reálných čísel a doplnit množinu reálných čísel o limity těch z nich, která neměla limit dříve.

Ukazuje se, že to nelze udělat. Každá základní posloupnost reálných čísel má v množině reálných čísel limit. Jinými slovy, množina reálných čísel obsahuje limity všech základních posloupností jejích prvků. Tato vlastnost množiny reálných čísel se nazývá úplnost . A samotné tvrzení o konvergenci jakékoli základní posloupnosti reálných čísel je hlavním obsahem Cauchyho konvergenčního kritéria , které je ústřední větou v Cantorově teorii.

Myšlenku doplnění množiny racionálních čísel o limity základních posloupností, kterou Cantor použil k „vytvoření“ iracionálních čísel, později použil F. Hausdorff při dokazování slavné věty o dokončení metrického prostoru .

Teorie nekonečných desetinných míst

Teorie nekonečných desetinných zlomků sahá až ke K. Weierstrassovi . Kolem roku 1863 rozvinul teorii reálných čísel, která byla publikována ze zápisků jeho přednášek v roce 1872 [4] . Původní verze Weierstrassovy teorie se však poněkud liší od teorie nekonečných desetinných zlomků prezentované v moderních učebnicích matematické analýzy (viz Historický komentář níže ).

Racionální čísla a desetinná místa

Stejně jako v případě Cantorovy teorie předpokládáme, že množina racionálních čísel je dána . Je známo, že každé racionální číslo lze rozložit na desetinný zlomek , který zapíšeme ve tvaru: $\mathbb {Q}$ $p/q\in {\mathbb {Q}}$

p/q\sim \pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots

Pokud se proces rozkladu zastaví po konečném počtu kroků, bude desetinný zlomek konečný , jinak bude nekonečný .

Jakýkoli desetinný zlomek, konečný nebo nekonečný, lze považovat za formální řadu formuláře

\pm \sum _{{k}}a_{k}\cdot 10^{{-k}}

kde index prochází buď počátečním segmentem přirozené řady , nebo celou přirozenou řadou . Lze ukázat, že řada získaná rozšířením racionálního čísla na desetinný zlomek vždy konverguje a její součet je roven danému racionálnímu číslu. $k$ $0,1,\ldots ,n$ $0,1,2,\ldots$ $p/q$

Pro další prezentaci je důležitý fakt, že pokud při rozkladu racionálního čísla získáme nekonečný desetinný zlomek, pak tento zlomek bude vždy periodický .

Existuje tedy korespondence mezi racionálními čísly a desetinnými zlomky, ve které každé racionální číslo odpovídá jedinému desetinnému zlomku, ale pro některé zlomky (jmenovitě nekonečné neperiodické) jim žádné racionální číslo neodpovídá. Je přirozené předpokládat, že tyto zlomky také odpovídají některým hypotetickým číslům, která nejsou racionální. Zavedením těchto hypotetických čísel, která budeme nazývat iracionálními , se zdá, že vyplníme mezery v úhrnu všech desetinných zlomků.

Do základu teorie reálného čísla tedy vložíme předpoklad (myšlenku), že každý desetinný zlomek je rozšířením nějakého, racionálního nebo iracionálního, reálného čísla : $\alpha$

\alpha \sim \pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots

Zároveň tento rozvoj interpretujeme stejně jako v případě racionálních čísel, tedy uvažujeme, že reálné číslo je součtem řady $\alpha$

\pm \sum _{{k}}a_{k}\cdot 10^{{-k}}

Konstrukce teorie nekonečných desetinných zlomků

Definice. Reálné číslo je nekonečný desetinný zlomek, tedy vyjádření tvaru

\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots

kde je jeden ze symbolů nebo , nazývaný znak čísla, je nezáporné celé číslo, je posloupnost desetinných míst (tj. prvky číselné množiny ). $\odpoledne$ $+$ $-$ $a_{0}$ $a_{1},a_{2},\ldots a_{n},\ldots$ $\{0,1,\ldots 9\}$

Zároveň se domníváme , že podle definice zlomky a představují stejné číslo, stejně jako stejné číslo představují zlomky tvaru a . Význam této konvence je zřejmý, protože racionální čísla odpovídající těmto zlomkům jsou stejná. [5] $+0,00\ldots$ $-0,00\ldots$ $\pm a_{0},a_{1}\ldots a_{n}999\ldots$ $\pm a_{0},a_{1}\ldots (a_{n}+1)000\ldots ,\;(a_{n}\neq 9)$

Je přirozené okamžitě souhlasit s tím, že periodické nekonečné desetinné zlomky představují jim odpovídající racionální čísla. Jinými slovy, identifikujeme periodické zlomky s racionálními čísly. Podle této konvence je množina racionálních čísel podmnožinou množiny všech reálných čísel.

Níže je náčrt konstrukce teorie nekonečných desetinných zlomků.

Nejprve je určeno pořadí na množině všech nekonečných desetinných zlomků. To se provádí na základě postupného porovnávání číslic čísel od nejvyšší po nejnižší. Například zadaná dvě nezáporná čísla

{\begin{matrix}\alpha &=+a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots \\\beta &=+b_{0},b_{1}b_{ 2}\ldots b_{n}\ldots \end{matrix}}

Dovolit a být první neshodné znaky v desítkové soustavě a . Pak jestliže , pak podle definice , a jestliže , pak . Na základě srovnání dvou nezáporných čísel se určí srovnatelnost libovolných dvou reálných čísel. $a_n$ $b_n$ $\alpha$ $\beta$ $a_{n}<b_{n}$ $\alpha <\beta$ $a_{n}>b_{n}$ $\alpha >\beta$

Lze ukázat, že zavedený srovnávací vztah definuje strukturu lineárně uspořádané množiny na množině nekonečných desetinných zlomků . Lze také ukázat, že pro periodické zlomky se stanovený vztah řádu shoduje s již existujícím vztahem srovnatelnosti pro racionální čísla. $<$

Po zavedení relace řádu na množině nekonečných desetinných zlomků dokážeme větu o přesné horní hranici , která je zásadní pro konstrukci teorie reálného čísla . Tato věta vyjadřuje skutečnost, že uspořádaný soubor reálných čísel má podle Dedekinda vlastnost spojitosti (úplnosti).

Nyní jsou aritmetické operace již zavedené na podmnožině racionálních čísel kontinuitou rozšířeny na celou množinu reálných čísel .

Totiž nechť a být dvě reálná čísla. Jejich součet je reálné číslo , které splňuje následující podmínku: $\alpha$ $\beta$ $\alpha +\beta$

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} \;(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \ leqslant b'')\Rightarrow (a'+b'\leqslant \alpha +\beta \leqslant a''+b'')

Lze prokázat, že reálné číslo, které tuto podmínku splňuje, existuje a je jedinečné.

Násobení čísel je definováno podobně . Součin dvou kladných reálných čísel a nazývá se reálné číslo , které splňuje následující podmínku: $\alpha$ $\beta$ $\alpha \cdot \beta$

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} \;(a'>0)\land (b'>0)\land (a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a'\cdot b'\leqslant \alpha \cdot \beta \leqslant a''\cdot b'')

Stejně jako v případě sčítání existuje číslo, které splňuje tuto podmínku, a je jedinečné. Poté je snadné definovat násobení dvou reálných čísel libovolnými znaménky.

Lze ověřit, že operace sčítání a násobení zavedené na množině reálných čísel se shodují s operacemi sčítání a násobení racionálních čísel.

Tím je konstrukce teorie nekonečných desetinných zlomků dokončena. Dále lze pomocí zavedených definic dokázat známé vlastnosti reálných čísel související s aritmetickými operacemi a srovnávací relací.

Na závěr poznamenáváme, že definováním pojmu limita posloupnosti a součtu řady reálných čísel můžeme dokázat tvrzení, které bylo oznámeno, když byl představen pojem reálného čísla. Totiž: každé reálné číslo je součtem řady jeho desetinného rozvoje. Tedy pokud

\alpha \sim \pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots

pak

$\alpha =\pm \sum _{{k=0}}^{{\infty }}a_{k}\cdot 10^{{-k}}$

Historický komentář

Jak bylo uvedeno výše, sám Weierstrass uvažoval o mírně odlišné konstrukci [4] [6] .

Výše prezentovanou teorii reálných čísel lze stručně definovat jako teorii formálních řad tvaru

$\pm \sum _{{k=0}}^{{\infty }}a_{k}\cdot 10^{{-k}}$

kde je nezáporné celé číslo a jsou desetinná místa $a_{0}$ $a_{k},k=1,2,\ldots$

Weierstrass, na druhé straně, zvažoval formální sérii obecnější formy:

$\pm \sum _{{n=0}}^{{\infty }}a_{n}\cdot 1/n$

kde jsou libovolná nezáporná celá čísla. $a_{n},n=1,2,\ldots$

Je zřejmé, že v takové konstrukci může být reálné číslo reprezentováno nekonečně mnoha způsoby. Navíc je jasné, že ne všem takovým řadám lze přiřadit číselnou hodnotu. Například řada

$\sum _{{n=1}}^{{\infty }}1/n$

se rozchází.

Weierstrass proto za prvé uvažuje pouze konvergentní řady - takové řady definuje jako řady s omezenými parciálními součty (viz kritérium pro konvergenci řady s nezápornými členy) a za druhé na této množině zavádí relaci ekvivalence. Reálné číslo je definováno jako třída ekvivalentních konvergentních řad.

Výhodnější je samozřejmě způsob určování reálných čísel pomocí desetinných zlomků, tedy pomocí rozšiřování nikoli ve všech alikvotních zlomcích (tedy ve zlomcích tvaru ), ale pouze v mocninách deseti , protože se tím dosáhne jedinečnosti představující reálné číslo ve formě řady. Pokud se však vrátíme k obecné Weierstrassově metodě, pak je analogie mezi Weierstrassovým přístupem a Cantorovým přístupem zřejmá. Cantor definoval reálné číslo jako třídu ekvivalence konvergentních posloupností racionálních čísel a k určení konvergence posloupnosti použil Cauchyho kritérium. Weierstrass udělal totéž, jen místo konvergentních posloupností uvažoval o konvergenčních řadách a místo Cauchyho kritéria pro konvergenci posloupnosti použil kritérium pro konvergenci řady s nezápornými členy (mimochodem ekvivalentní věta o limitě monotónní posloupnosti je pojmenována po Weierstrassovi). $1/n$ $1/10^{k}$

Teorie řezů v oboru racionálních čísel

Dedekindova teorie je nejjednodušší a historicky první rigorózní teorií reálného čísla. Na rozdíl od analytických přístupů Cantora a Weierstrasse je Dedekindova teorie založena na geometrických úvahách; odtud jeho viditelnost.

Hodnota Dedekindovy teorie spočívá v tom, že kromě konstruování reálných čísel jako první odhalila matematickou podstatu konceptu spojitosti – konceptu, který je základem matematické analýzy a který se používal po staletí s odkazem na důkazy. nebo úvahy geometrické povahy.

Dedekindova teorie, postavená v roce 1858, byla publikována v roce 1872 v malé brožuře nazvané "Kontinuita a iracionální čísla" ( německy "Stetigkeit und irrationale Zahlen" ). Tato kniha dodnes zůstává jednou z nejlepších z hlediska přehlednosti a přístupnosti podání tématu. Níže v tomto článku budeme sledovat hlavně myšlenkový pochod samotného Dedekinda.

Vyjádření otázky

Abychom porozuměli problému, který představuje Dedekind, popišme obecně stav věcí v matematické analýze, která v té době probíhala.

Při prezentaci průběhu diferenciálního počtu , který byl z větší části veden rigorózními metodami, bylo k prokázání některých tvrzení stále zapotřebí uchýlit se ke geometrické jasnosti.

Například, aby se dokázala věta o limitě monotónní posloupnosti, byla nakreslena přímka, na které byly vyznačeny body představující členy posloupnosti . Dále zazněly fráze typu: „samozřejmě“ existuje bod , ke kterému se body neomezeně přibližují, nebo „měl by“ takový bod existovat, protože číselná řada je „nepřetržitě vyplněna body“ . Dále, protože nějaké racionální nebo iracionální číslo odpovídá libovolnému bodu na přímce, pak pro číslo odpovídající bodu máme: . $A_{n}$ $a_n$ $A$ $A_{n}$ $A$ $A$ $\lim a_{n}=a$

Často se říká, že diferenciální počet se zabývá spojitými veličinami, ale nikde tato spojitost není dána, a dokonce ani v nejpřísnějším výkladu diferenciálního počtu nespočívají důkazy na spojitosti, ale více či méně vědomě apelují buď na geometrická zobrazení nebo zobrazení, která mají původ v geometrii, nebo konečně založit důkaz na tvrzeních, která sama o sobě nikdy nebyla dokázána čistě aritmetickými prostředky.R. Dedekind, "Kontinuita a iracionální čísla"

Potřeba zahrnout úvahy geometrické povahy za účelem prokázání čistě aritmetického (na číslech) návrhu vyvolává určitý pocit nespokojenosti a naznačuje „nedostatek odůvodnění pro aritmetiku“ , to znamená absenci rigorózní a úplné teorie číslo. Ale i když připustíme možnost geometrického uvažování, vyvstává další otázka: o spojitosti vzhledem k bodům samotné přímky. A jak se ukazuje, koncept spojitosti přímky zde postrádá logickou definici.

Na základě této analýzy si Dedekind stanovil následující dva úkoly:

1. Najděte logickou formulaci hlavní vlastnosti přímky, která je obsažena v našich vizuálních reprezentacích „souvislého vyplňování přímek“ 2. Sestavte rigorózní čistě aritmetickou teorii čísla , takže ty vlastnosti číselného systému, pro jejichž ospravedlnění se dříve uchýlili k vizuálním geometrickým reprezentacím, nyní vyplývají z obecné definice čísla.

Porovnání racionálních čísel s body přímky

Dedekind vychází z množiny racionálních čísel , jejichž vlastnosti jsou považovány za známé. Porovnává soustavu racionálních čísel s množinou bodů přímky , aby odhalil její vlastnosti. $\mathbb {Q}$ ${\mathbb {L}}$

Racionální čísla tvoří soubor, na kterém jsou uvedeny aritmetické operace sčítání a násobení, které mají určité vlastnosti. Ale pro další prezentaci je extrémně důležitá skutečnost, že kolekce je lineárně uspořádaná : pro jakákoli dvě různá čísla a můžeme říci, že jedno z nich je menší než druhé. $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$ $A$ $b$

Množina bodů na přímce je také lineárně uspořádaná množina. Pořadový vztah mezi dvěma body a zde je vyjádřen tím, že jeden bod leží nalevo od druhého . ${\mathbb {L}}$ $p$ $q$ $p$ $q$

Tato podobnost mezi racionálními čísly a body přímky může být vyvinuta tím, že mezi nimi vytvoříme korespondenci. Jak víte, za tímto účelem je vybrán určitý počáteční bod na přímce , určitá jednotka délky pro měření segmentů a také kladný směr . Pro každý můžete postavit odpovídající délku a odložením z počátečního bodu doprava nebo doleva, v závislosti na tom, zda je číslo kladné nebo ne, dostaneme určitý bod odpovídající racionálnímu číslu . $a\in {\mathbb {Q}}$ $A$ $p\in {\mathbb {L}}$ $A$

Každé racionální číslo tedy může být spojeno s určitým bodem . V tomto případě budou různá čísla odpovídat různým bodům. Navíc, pokud je číslo menší než , pak bod odpovídající , bude ležet vlevo od bodu odpovídajícího . Jinými slovy, stanovený poměr zachovává řád. $a\in {\mathbb {Q}}$ $p\in {\mathbb {L}}$ $A$ $b$ $p$ $A$ $q$ $b$

Přímá spojitost

Zároveň se ukazuje, že na přímce je nekonečně mnoho bodů, které neodpovídají žádnému racionálnímu číslu. Vyplývá to z existence nesouměřitelných segmentů, kterou znali již staří (např. nesouměřitelnost úhlopříčky a strany čtverce, tedy iracionalita ). ${\mathbb {L}}$ ${\sqrt {2}}$

Obrazně řečeno, přímka je zaplněna body hustěji než množina racionálních čísel. Vidíme, že v množině racionálních čísel jsou dutiny , mezery odpovídající těm bodům přímky, pro které neexistovalo žádné odpovídající racionální číslo, zatímco o přímce říkáme, že je "nepřetržitě vyplněna body" . ${\mathbb {L}}$ $\mathbb {Q}$

Dosavadní srovnání oblasti racionálních čísel s přímkou vedlo k objevu prvního z vad (Lückenhaftigkeit), neúplnosti nebo diskontinuity, zatímco přímce přisuzujeme úplnost, absenci mezer, spojitost.R. Dedekind, "Kontinuita a iracionální čísla"

Co přesně je tato kontinuita? Jak lze tuto vlastnost přímky vyjádřit matematicky ?

Dedekind uvádí následující postřeh. Pokud existuje určitý bod přímky, pak všechny body přímky spadají do dvou tříd: ty umístěné vlevo a ty umístěné vpravo ; samotný bod lze libovolně přiřadit buď do první nebo do druhé třídy. U bodů na přímce však platí opačný princip: $p$ $p$ $p$ $p$

Pokud jsou body přímky rozděleny do dvou tříd tak, že každý bod první třídy leží nalevo od každého bodu druhé třídy, pak existuje pouze jeden bod, který vytváří toto rozdělení úsečky do dvou tříd, toto je rozřezání linky na dva kusy.R. Dedekind, "Kontinuita a iracionální čísla"

Geometricky se tento návrh zdá zřejmý, ale nejsme schopni to dokázat. Dedekind poukazuje na to, že ve skutečnosti tento princip není nic jiného než postulát, který vyjadřuje podstatu vlastnosti spojitosti přímky. Jejím přijetím přisuzujeme přímce tu vlastnost, kterou nazýváme její spojitost.

Přijetí této vlastnosti přímky není nic jiného než axiom, s jehož pomocí pouze rozpoznáváme její spojitost jako přímku, mentálně investující spojitost do přímky.R. Dedekind, "Kontinuita a iracionální čísla"

Vysvětleme obsah a geometrickou interpretaci Dedekindova principu. Představte si, že všechny body úsečky jsou obarveny dvěma barvami – zelenou a červenou, takže každý zelený bod leží nalevo od každého červeného bodu.

Je geometricky zřejmé , že na čáře musí být takový bod, ve kterém se barvy dostávají do kontaktu. Právě tento bod „rozděluje čáru do dvou tříd“: všechny zelené body leží nalevo od ní a všechny červené body leží napravo. To je princip Dedekinda.

Zároveň musí mít bod „spojení barev“ sám o sobě určitou barvu, protože podle podmínky jsou všechny body čáry bez výjimky namalovány. Tento bod musí být buď zelený, v tomto případě poslední zelený bod, nebo červený, což je první červený bod. Jak je snadno vidět, tyto dvě možnosti se navzájem vylučují: v prvním případě neexistuje první červená tečka - červené tečky jsou libovolně blízko křižovatky, ale první mezi nimi není, a ve druhém případě , z podobných důvodů není poslední zelená tečka.

Nyní věnujme pozornost tomu, jaké logické možnosti , které mohou teoreticky nastat, jsme vyloučili, apelujíce na geometrickou jasnost. Je snadné vidět, že jsou pouze dva: za prvé se může stát, že poslední zelený i první červený bod existují současně; za druhé se může stát, že tam není ani poslední zelený, ani první červený bod.

První situace je prý skok . Takový obrázek je možný pro přímku, ze které byl vynechán celý interval mezilehlých bodů.

K popisu druhé situace se používá termín mezera . Takový obraz může nastat pro přímku, ze které byl odstraněn celý segment včetně jeho konců - zejména pokud byl odstraněn jediný bod.

Kontinuita čáry tedy znamená, že v ní nejsou žádné skoky ani mezery – zkrátka neexistují žádné prázdnoty.

Je pozoruhodné, že výše uvedená definice spojitosti platí pro jakoukoli uspořádanou množinu prvků.

Dedekindova kontinuita

Uveďme nyní přesnou formulaci Dedekindovy spojitosti použitelnou pro libovolnou lineárně uspořádanou množinu.

Definice. Dovolit být lineárně uspořádaná množina. Uspořádaný pár množin a se nazývá sekce v , a samotné množiny se nazývají nižší a vyšší třídy dané sekce, pokud jsou splněny následující podmínky: ${\mathsf {L}}$ $A$ $A'$ ${\mathsf {L}}$ $A$ $A'$

1. Třídy nejsou prázdné:

$A\neq \varnothing ,A'\neq \varnothing$

2. Každý prvek patří alespoň do jedné z tříd

{\mathsf {L}}

$A\cup A'={\mathsf {L}}$

3. Každý prvek nižší třídy je menší než kterýkoli prvek vyšší třídy :

$\forall a\in A,\forall a'\in A'\;(a<a')$

Označíme sekci . $A|A'$

Definice. Lineárně uspořádaná množina se nazývá spojitá (podle Dedekinda) , pokud je její úsek jakýkoli, nebo v nižší třídě úseku je největší prvek a v horní není nejmenší; nebo v horní třídě je nejmenší prvek a v nižší není žádný největší (takové sekce se nazývají Dedekind ). ${\mathsf {L}}$

Jako příklad uvažujme množinu racionálních čísel. Je snadné vidět, že v něm nemohou být žádné skoky: pokud je maximální prvek nižší třídy, je minimálním prvkem vyšší třídy, pak číslo ležící uprostřed mezi a nemůže patřit ani nižší, ani nižší třídě. vyšší třídy, což odporuje definici oddílu. $A$ $b$ $(a+b)/2$ $A$ $b$

Zároveň jsou v množině racionálních čísel mezery – právě v těch místech, kde by iracionální čísla měla být. Uvažujme například úsek definovaný množinami $A|A'$

$A=\{x\in \mathbb {Q} :x\leq 0\lor (x>0\land x^{2}<2)\},A'=\{x\in \mathbb { Q} :x>0\land x^{2}>2\}$

Je snadné vidět, že se skutečně jedná o sekci, nicméně v nižší třídě není žádný maximální prvek a ve vyšší není žádný minimální prvek. To znamená, že máme mezeru.

Konstrukce iracionálních čísel

Množina racionálních čísel tedy na rozdíl od přímky není spojitá: má mezery. Ve světle výše uvedeného je zřejmé, že pro sestavení množiny reálných čísel, jejichž prvky jsou spojeny s body přímky, je nutné vyplnit všechna prázdná místa v množině racionálních čísel. čísla.

Pro jakoukoli část množiny racionálních prostorů typu přidáme do množiny nový prvek (iracionální číslo) , který je podle definice větší než jakékoli číslo z nižší třídy a menší než jakékoli číslo z vyšší třídy. . Tím vyplníme prázdné místo mezi třídami sekcí. Řekneme, že řez určuje iracionální číslo , nebo že iracionální číslo vytváří řez . $A|A'$ $\mathbb {Q}$ $\alpha$ $A$ $A'$ $A|A'$ $\alpha$ $\alpha$ $A|A'$

Kombinací všech možných případů můžeme říci, že jakýkoli řez v oblasti racionálních čísel určuje nějaké racionální nebo iracionální číslo, které tento řez produkuje.

Definice. Iracionální číslo je jakýkoli úsek v množině racionálních čísel, v jehož nižší třídě není největší prvek a ve vyšší třídě není nejmenší.

Definice. Množina reálných čísel je spojením množin racionálních a iracionálních čísel. Každý prvek množiny reálných čísel se nazývá reálné číslo .

Množina reálných čísel, jak je dobře vidět, je lineárně uspořádána podle zavedeného řádu pořadí. Zásadní význam má následující skutečnost.

Teorém. Množina reálných čísel je Dedekindova spojitá.

Tato věta nevyplývá automaticky z definice iracionálních čísel, která vyplnila mezery v množině racionálních. Vyžaduje důkaz.

Operace sčítání a násobení jsou zavedeny na množině reálných čísel pomocí spojitosti (stejně jako v teorii nekonečných desetinných zlomků). Konkrétně součet dvou reálných čísel se nazývá reálné číslo , které splňuje následující podmínku: $\alpha$ $\beta$ $\gamma$

$\forall a,a',b,b'\;(a\leqslant \alpha \leqslant a')\land (b\leqslant \beta \leqslant b')\Rightarrow (a+b\leqslant \gamma \leqslant a'+b')$

Z kontinuity reálných čísel vyplývá, že takové reálné číslo existuje a je jedinečné. Navíc, jestliže a jsou racionální čísla, pak se tato definice shoduje s obvyklou definicí součtu dvou racionálních čísel. Obdobně je zavedeno násobení a dokázány vlastnosti operací a řádové vztahy. $\gamma$ $\alpha$ $\beta$

Poznámky

↑ 1 2 Kantor G. Pracuje na teorii množin / ed. A. N. Kolmogorov, F. A. Medveděv, A. P. Juškevič,. - M. : NAUKA, 1985. - S. 9-10. - (Klasika vědy).
↑ Arnold I. V. Teoretická aritmetika. - S. 277.
↑ Cauchy ve skutečnosti stanovil kritérium pro konvergenci řady, také nesoucí jeho jméno, ale z každého z těchto dvou kritérií snadno vyplývá další
↑ 1 2 Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Cesty a labyrinty. Eseje o historii matematiky. — S. 287-289.
↑ Někdy, aby korespondence mezi množinou reálných čísel a množinou nekonečných desetinných zlomků byla jedna ku jedné, uvažují ne všechny, ale pouze přípustné nekonečné desetinné zlomky, přičemž jako takové chápou všechny ty, které nemají období skládající se z jedné devítky a také mezi které zlomek není zahrnut $-0,00\ldots$
↑ Rybnikov K. A. Dějiny matematiky. - T. 2. - S. 197.

Literatura

Reference

Arnold V. I. Teoretická aritmetika. — M .: UCHPEDGIZ, 1938.

Bourbaki N. Eseje o dějinách matematiky / přel. z francouzštiny I. G. Bašmaková, ed. K. A. Rybníková. - M . : Nakladatelství zahraniční literatury, 1963.

Hilbert D. Základy geometrie = Grundlagen der Geometrie / per. ze 7. německého vydání I. S. Gradshteina, ed. P. K. Raševskij. - M. - L .: Státní nakladatelství technické a teoretické literatury, 1948.

Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Cesty a labyrinty. Eseje o historii matematiky. — Per. z francouzštiny. - M. : MIR, 1986. - 432 s.

Dedekind R. Spojitost a iracionální čísla = Stetigkeit und irrationale Zahlen. — 4. opravené vydání. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 s.

Zorich V. A. Matematická analýza. Část I. - 4. vydání, Rev. - M. : MTSNMO, 2002. - XVI + 664 s. — ISBN 5-94057-056-9 .

Iljin V. A., Poznak E. G. Základy matematické analýzy: Za 2 hodiny Část I. - 7. vyd. - M : FIZMATLIT, 2005. - 648 s. - ISBN 5-9221-0536-1 .

Dějiny matematiky od nejstarších dob do počátku 19. století. Ve třech svazcích / ed. Juškevič. - M. : NAUKA, 1970. - T. 1.

Kantor G. Pracuje na teorii množin / ed. A. N. Kolmogorov, F. A. Medveděv, A. P. Juškevič,. - M . : SCIENCE, 1985. - (Klasika vědy).

Kudryavtsev L. D. Kurz matematické analýzy. - 5. vyd. - M. : "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 s. - ISBN 5-7107-4119-1 .

Reed K. Gilbert / přel. z angličtiny. I. V. Dolgačev, ed. R. V. Gamkrelidze. — M .: NAUKA, 1977.

Rybnikov K. A. Dějiny matematiky. - M. : Nakladatelství Moskevské univerzity, 1963. - T. 2.

Ter-Krikorov A. M., Shabunin M. I. Kurz matematické analýzy. - 3. vyd., opraveno .. - M . : FIZMATLIT, 2001. - 672 s. — ISBN 5-9221-0008-4 .

Fikhtengol'ts G.M. Základy matematické analýzy. - 7. vyd. - M. : FIZMATLIT, 2002. - T. 1. - 416 s. — ISBN 5-9221-0196-X .

Doporučená četba

Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Cesty a labyrinty. Eseje o historii matematiky.
Dějiny matematiky od nejstarších dob do počátku 19. století. Ve třech svazcích / ed. Juškevič. - T. 1.
Arnold V. I. Teoretická aritmetika.
Dedekind R. Spojitost a iracionální čísla = Stetigkeit und irrationale Zahlen. — 44 s.
Fikhtengol'ts G.M. Základy matematické analýzy.
Ter-Krikorov A. M., Shabunin M. I. Kurz matematické analýzy.
Ilyin V. A., Poznak E. G. Základy matematické analýzy: Za 2 hodiny. Část I.

Numerické soustavy
Počitatelné sady	Přirozená čísla ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ celá čísla ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ racionální ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ algebraické ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Období Vypočitatelný Aritmetický
Reálná čísla a jejich rozšíření	Skutečné ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplexní ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ čtveřice ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayleyova čísla (oktávy, osminky) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alternions Dvojí Hyperkomplex Superreálné Hypermateriál nadreálný
Nástroje pro numerické rozšíření	Cayley-Dixonův postup Frobeniova věta Hurwitzova věta
Jiné číselné soustavy	kardinální čísla Řadové číslovky (překonané, řadové) p-adic Nadpřirozená čísla intervalová čísla
viz také	dvojitá čísla Iracionální čísla transcendentální čísla číselný paprsek Biquaternion