Stavba projektu

Proj  je konstrukce podobná konstrukci afinních schémat jako spekter prstenců , pomocí kterých se konstruují schémata , která mají vlastnosti projektivních prostorů a projektivních variet .

V tomto článku se předpokládá, že všechny kruhy jsou komutativní kruhy s identitou.

Projekt gradovaného prstenu

Projekt jako soubor

Nechť  je odstupňovaný kroužek , kde

je přímý rozklad součtu spojený s klasifikací.

Označujeme ideálem Množinu Proj S definujeme jako množinu všech homogenních jednoduchých ideálů , které neobsahují

V následujícím budeme pro stručnost někdy označovat Proj S jako X .

Projekt jako topologický prostor

Můžeme definovat topologii, nazývanou Zariski topology , na Proj S tím, že definujeme uzavřené množiny jako množiny tvaru

kde a  je homogenní ideál S . Stejně jako v případě afinních schémat je snadné ověřit, že V ( a ) jsou uzavřené množiny nějaké topologie na X .

Opravdu, jestliže  je rodina ideálů, pak a jestliže množina I je konečná, pak .

Ekvivalentně lze začít s otevřenými množinami a definovat

Standardní zkratka má označovat D ( Sf ) jako D ( f ), kde Sf  je ideál generovaný f . Pro jakékoli a jsou D ( a ) a V ( a ) zjevně komplementární a výše uvedený důkaz ukazuje, že D ( a ) tvoří topologii na Proj S . Výhodou tohoto přístupu je, že D ( f ), kde f prochází všemi homogenními prvky S , tvoří základ této topologie, která je nezbytným nástrojem pro studium Proj S , podobně jako v případě prstencových spekter.

Proj jako schéma

Na Proj S zkonstruujeme také svazek , nazývaný strukturální svazek, který z něj udělá obvod. Stejně jako v případě konstrukce Spec to lze provést několika způsoby: ten nejpřímější, který také připomíná konstrukci regulárních funkcí na projektivní varietě v klasické algebraické geometrii, je následující. Pro jakoukoli otevřenou množinu U v Proj S definujeme kruh jako množinu všech funkcí

(kde označuje podkruh místního kruhu bodu , sestávající z částečných homogenních prvků stejného stupně) tak, že pro každý prvočíslo p v U :

  1. f(p) je prvkem ;
  2. existuje otevřená podmnožina V množiny U obsahující p a homogenní prvky s , t kruhu S stejného stupně, takže pro každý prvoideál q ve V :
    • t není v q ;
    • f(q) = s/t .

Z definice okamžitě vyplývá, že tvoří svazek prstenců na Proj S a lze ukázat, že dvojice (Proj S , ) je schéma (navíc každá podmnožina D(f) je afinní schéma).

Svazek spojený s odstupňovaným modulem

Podstatnou vlastností S ve výše uvedené konstrukci byla možnost konstruovat lokalizace pro každý prvoideál p v S . Tuto vlastnost má také jakýkoli odstupňovaný modul M oproti S , a proto nám konstrukce z výše uvedené sekce s drobnými změnami umožňuje zkonstruovat pro takový M svazek -modulů na Proj S , označený . Konstrukčně je tento paprsek kvazi-koherentní . Pokud je S generováno konečným počtem prvků stupně 1 (tj. polynomiální kruh nebo jeho faktor), všechny kvazi-koherentní svazky na Proj S jsou získány z odstupňovaných modulů využívajících tuto konstrukci. [1] Odpovídající klasifikovaný modul není jedinečný.

Serrův točivý paprsek

Speciálním případem svazku spojeného se stupňovaným modulem je situace, kdy samotné S vezmeme jako M s jiným stupněm: jmenovitě považujeme prvky stupně ( d + 1) modulu M za prvky stupně ( d + 1) kruhu S a označují M = S (1). Získáme kvazi-koherentní svazek na Proj S , označovaný nebo jednoduše O (1) a nazývaný kroucený Serre svazek . Lze ověřit, že O (1) je reverzibilní svazek .

Jedním z důvodů , proč je O (1) užitečný, je to, že vám umožňuje obnovit algebraické informace o S , které se ztratily v konstrukci při přechodu na kvocienty mocnin 0. V případě Spec A pro kruh A , globální sekce strukturální svazek jsou samotné A , pak jako v našem případě se globální řezy svazku skládají z prvků S stupně 0. Pokud definujeme

pak každé O ( n ) obsahuje informace o stupních n o S. Podobně pro svazek -modulů N spojených s S -modulem M můžeme definovat

a očekávat, že tento zkroucený svazek obsahuje ztracené informace o M . To naznačuje, i když nesprávně, že S lze rekonstruovat z těchto svazků; to je ve skutečnosti pravda, pokud S je polynomiální kruh, viz níže.

n -rozměrný projektivní prostor

Je-li A  prstenec, definujeme n - rozměrný projektivní prostor nad A jako schéma

Definujeme klasifikaci na prstenci za předpokladu, že každý má stupeň 1 a každý prvek A má stupeň 0. Porovnáme-li to s definicí O (1) uvedenou výše, vidíme, že úseky O (1) jsou vytvořené lineární homogenní polynomy. podle živlů .

Příklady

Poznámky

  1. Ravi Vakil. Základy algebraické geometrie . — 2015. , Důsledek 15.4.3.

Literatura