Stavba projektu

Proj je konstrukce podobná konstrukci afinních schémat jako spekter prstenců , pomocí kterých se konstruují schémata , která mají vlastnosti projektivních prostorů a projektivních variet .

V tomto článku se předpokládá, že všechny kruhy jsou komutativní kruhy s identitou.

Projekt gradovaného prstenu

Projekt jako soubor

Nechť je odstupňovaný kroužek , kde $S$

{\displaystyle S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i))

je přímý rozklad součtu spojený s klasifikací.

Označujeme ideálem Množinu Proj S definujeme jako množinu všech homogenních jednoduchých ideálů , které neobsahují $S_+$ $\bigoplus _{i>0}S_{i}.$ $S_{+}.$

V následujícím budeme pro stručnost někdy označovat Proj S jako X .

Projekt jako topologický prostor

Můžeme definovat topologii, nazývanou Zariski topology , na Proj S tím, že definujeme uzavřené množiny jako množiny tvaru

V(a)=\{p\in \operatorname {Proj} \,S\mid a\subseteq p\},

kde a je homogenní ideál S . Stejně jako v případě afinních schémat je snadné ověřit, že V ( a ) jsou uzavřené množiny nějaké topologie na X .

Opravdu, jestliže je rodina ideálů, pak a jestliže množina I je konečná, pak . ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I))$ $\bigcap V(a_{i})=V(\Sigma a_{i})$ $\bigcup V(a_{i})=V(\Pi a_{i})$

Ekvivalentně lze začít s otevřenými množinami a definovat

D(a)=\{p\in \operatorname {Proj} \,S\mid a\;\not \subseteq \;p\}.

Standardní zkratka má označovat D ( Sf ) jako D ( f ), kde Sf je ideál generovaný f . Pro jakékoli a jsou D ( a ) a V ( a ) zjevně komplementární a výše uvedený důkaz ukazuje, že D ( a ) tvoří topologii na Proj S . Výhodou tohoto přístupu je, že D ( f ), kde f prochází všemi homogenními prvky S , tvoří základ této topologie, která je nezbytným nástrojem pro studium Proj S , podobně jako v případě prstencových spekter.

Proj jako schéma

Na Proj S zkonstruujeme také svazek , nazývaný strukturální svazek, který z něj udělá obvod. Stejně jako v případě konstrukce Spec to lze provést několika způsoby: ten nejpřímější, který také připomíná konstrukci regulárních funkcí na projektivní varietě v klasické algebraické geometrii, je následující. Pro jakoukoli otevřenou množinu U v Proj S definujeme kruh jako množinu všech funkcí $O_{X}(U)$

{\displaystyle f\colon U\to \bigcup _{p\in U}S_{(p)))

(kde označuje podkruh místního kruhu bodu , sestávající z částečných homogenních prvků stejného stupně) tak, že pro každý prvočíslo p v U : $S_{(p)}$ $S_p$ $p$

f(p) je prvkem ; $S_{(p)}$
existuje otevřená podmnožina V množiny U obsahující p a homogenní prvky s , t kruhu S stejného stupně, takže pro každý prvoideál q ve V :
- t není v q ;
- f(q) = s/t .

Z definice okamžitě vyplývá, že tvoří svazek prstenců na Proj S a lze ukázat, že dvojice (Proj S , ) je schéma (navíc každá podmnožina D(f) je afinní schéma). $O_{X}(U)$ $O_{X}$ $O_{X}$

Svazek spojený s odstupňovaným modulem

Podstatnou vlastností S ve výše uvedené konstrukci byla možnost konstruovat lokalizace pro každý prvoideál p v S . Tuto vlastnost má také jakýkoli odstupňovaný modul M oproti S , a proto nám konstrukce z výše uvedené sekce s drobnými změnami umožňuje zkonstruovat pro takový M svazek -modulů na Proj S , označený . Konstrukčně je tento paprsek kvazi-koherentní . Pokud je S generováno konečným počtem prvků stupně 1 (tj. polynomiální kruh nebo jeho faktor), všechny kvazi-koherentní svazky na Proj S jsou získány z odstupňovaných modulů využívajících tuto konstrukci. [1] Odpovídající klasifikovaný modul není jedinečný. $S_{(p)}$ $O_{X}$ ${\tilde {M}}$

Serrův točivý paprsek

Speciálním případem svazku spojeného se stupňovaným modulem je situace, kdy samotné S vezmeme jako M s jiným stupněm: jmenovitě považujeme prvky stupně ( d + 1) modulu M za prvky stupně ( d + 1) kruhu S a označují M = S (1). Získáme kvazi-koherentní svazek na Proj S , označovaný nebo jednoduše O (1) a nazývaný kroucený Serre svazek . Lze ověřit, že O (1) je reverzibilní svazek . ${\tilde {M}}$ $O_{X}(1)$

Jedním z důvodů , proč je O (1) užitečný, je to, že vám umožňuje obnovit algebraické informace o S , které se ztratily v konstrukci při přechodu na kvocienty mocnin 0. V případě Spec A pro kruh A , globální sekce strukturální svazek jsou samotné A , pak jako v našem případě se globální řezy svazku skládají z prvků S stupně 0. Pokud definujeme $O_{X}$ $O_{X}$

O(n)=\bigotimes _{i=1}^{n}O(1)

pak každé O ( n ) obsahuje informace o stupních n o S. Podobně pro svazek -modulů N spojených s S -modulem M můžeme definovat $O_{X}$

N(n)=N\otimes O(n)

a očekávat, že tento zkroucený svazek obsahuje ztracené informace o M . To naznačuje, i když nesprávně, že S lze rekonstruovat z těchto svazků; to je ve skutečnosti pravda, pokud S je polynomiální kruh, viz níže.

n -rozměrný projektivní prostor

Je-li A prstenec, definujeme n - rozměrný projektivní prostor nad A jako schéma

\mathbb {P} _{A}^{n}=\název operátora {Proj} \,A[x_{0},\ldots ,x_{n}].

Definujeme klasifikaci na prstenci za předpokladu, že každý má stupeň 1 a každý prvek A má stupeň 0. Porovnáme-li to s definicí O (1) uvedenou výše, vidíme, že úseky O (1) jsou vytvořené lineární homogenní polynomy. podle živlů . $S=A[x_{0},\ldots ,x_{n}]$ $x_i$ $x_{i}$

Příklady

Vezmeme-li jako základní prstenec , pak má kanonický projektivní morfismus na afinní linii , jejíž vlákna jsou eliptické křivky , kromě vrstev nad body , nad nimiž vrstvy degenerují do uzlových křivek. $A=\mathbb {C} [\lambda ]$ ${\text{Proj))(A[X,Y,Z]/(ZY^{2}-X(XZ)(X-\lambda Z)))$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\lambda }^{1))$ $\lambda =0,1$
Projektivní hyperplocha je příkladem 3D Fermatovy kvintiky, což je také Calabi-Yauova varieta . ${\text{Proj}}\left(\mathbb {C} [X_{0},\ldots ,X_{4}]/(X_{0}^{5}+\cdots X_{4}^ {5})\vpravo)$
Pokud vezmeme v úvahu triviální známkování na , tedy za , pak . $A$ $A_{0}=A$ $A_{i}=0$ $i\neq 0$ ${\text{Proj}}(A)={\text{Spec}}(A)$
Vážené projektivní prostory lze konstruovat pomocí polynomiálních kruhů s nestandardními stupni proměnných. Například vážený projektivní prostorodpovídá odebráníprstenukdemá stupeň, zatímcomá stupeň 2. $\mathbb {P} (1,1,2)$ ${\text{proj))$ $A[X_{0},X_{1},X_{2}]$ $X_{0},X_{1}$ $jeden$ $X_{2}$
Bigradovaný prstenec odpovídá podschématu součinu projektivních prostorů. Například bigradová algebra, kde mít stupeň a mít stupeň odpovídá . $\mathbb {C} [X_{0},X_{1},Y_{0},Y_{1}]$ $X_{i}$ $(1,0)$ $Y_{i}$ $(0,1)$ $\mathbb {P} _{X}^{1}\times \mathbb {P} _{Y}^{1}$

Poznámky

↑ Ravi Vakil. Základy algebraické geometrie . — 2015. , Důsledek 15.4.3.

Literatura

Hartshorne R. Algebraická geometrie / přel. z angličtiny. V. A. Iskovskikh. — M .: Mir, 1981.
Grothendieck, Alexandre; Dieudonne, Jean . "Prvky geometrie algebrique: II. Étude globale élémentaire de quelques class de morphismes“ . Publikace Mathématiques de l'IHES. 8, 1961.