Steinerův design

Steinerova konstrukce je způsob, jak definovat nedegenerovanou kuželosečku v projektivní rovině nad polem . To bylo navrženo švýcarským matematikem Jacobem Steinerem .

Konstrukce

Nechť jsou uvedeny dvě tužky čar v bodech (všechny čáry obsahují a ) a projektivní, ale ne perspektivní mapování od do . Poté průsečíky příslušných čar tvoří nedegenerovanou projektivní kuželosečku [1] [2] [3] [4] (obrázek 1) $B(U),B(V)$ $U,V$ $U$ $PROTI$ $\pi$ $B(U)$ $B(V)$

Perspektivní zobrazení tužkou na svazek je taková bijekce , kdy se odpovídající čáry protínají na pevné linii zvané osa perspektivního mapování (obrázek 2). $\pi$ $B(U)$ $B(V)$ $A$ $\pi$

Projektivní zobrazení je složením konečného počtu perspektivních zobrazení.

Příklady běžně používaných polí jsou reálná čísla , racionální čísla a komplexní čísla . Konstrukce také pracuje na konečných polích , dává příklady v konečných projektivních rovinách. $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {C}$

Poznámka: Hlavní věta pro projektivní roviny říká, že projektivní zobrazení v projektivní rovině nad polem je jednoznačně určeno obrazy tří čar. [5] To znamená, že pro Steinerovu konstrukci musí být kromě dvou bodů uvedeny pouze obrázky tří čar. Protože obraz přímky je jednoznačně určen průsečíkem s obrazem, vyplývá z toho, že kuželosečka je jednoznačně určena pěti body na ní ležícími. $U,V$

Příklad

V následujícím příkladu jsou známé obrázky tří čar (viz obrázek 3): . Projektivní zobrazení je kompozice perspektivních zobrazení : 1) je perspektivní zobrazení tužky v bodě na tužku v bodě s osou . 2) je perspektivní mapování nosníku v bodě na nosník v bodě s osou . Musíme zkontrolovat, zda má následující vlastnosti: . Pro libovolnou čáru lze tedy sestavit její obraz . Přímky a obsahují pouze body kuželosečky , resp. Proto a jsou tečné k sestrojené kuželosečce. $a,u,w$ $\pi (a)=b,\pi (u)=w,\pi (w)=v$ $\pi$ $\pi _{b},\pi _{a}$ ${\displaystyle \pi _{b))$ $U$ $Ó$ $b$ $\pi _{a}$ $Ó$ $PROTI$ $A$ ${\displaystyle \pi =\pi _{a}\pi _{b))$ $\pi (a)=b,\pi (u)=w,\pi (w)=v$ $G$ $\pi (g)=\pi _{a}\pi _{b}(g)$ $u$ $proti$ $U$ $PROTI$ $u$ $proti$

Důkaz, že tato metoda umožňuje sestrojit kuželosečku, je proveden přechodem na afinní graf, ve kterém přímka je přímka v nekonečnu, bod je počátek a body jsou body v nekonečnu odpovídající osám x a y , respektive. a tečka . Afinní část sestrojené kuželosečky se ukáže jako hyperbola . [3] $w$ $Ó$ $U,V$ $E=(1,1)$ $y=1/x$

Steinerova konstrukce duální kuželosečky

Definice

Při přechodu do duální projektivní roviny se slova „bod“ a „přímka“ a operace křížení čar a spojovacích bodů zaměňují. Duální projektivní rovina je také projektivní rovinou a lze na ni zavést homogenní souřadnice. Nedegenerovaná kuželosečka v duální projektivní rovině je také definována kvadratickou formou.

Duální kuželosečka může být sestrojena duální Steinerovou metodou:

Nechť jsou uvedeny čáry a projektivní, ale ne perspektivní mapování od do . Potom čáry spojující odpovídající body tvoří duální nedegenerovanou projektivní kuželosečku. $u, v$ $\pi$ $u$ $proti$

Perspektivní zobrazení množiny bodů na přímce na množinu bodů na přímce je taková bijekce, že přímky spojující odpovídající body se protínají v pevném bodě , který se nazývá perspektivní střed (viz obrázek). $\pi$ $u$ $proti$ $Z$ $\pi$

Projektivní zobrazení je složením konečného počtu perspektivních zobrazení.

V případě, že hlavní pole má charakteristiku 2, všechny tečné kuželosečky se protínají v bodě zvaném uzel (nebo jádro ) kuželosečky. Proto kuželosečka duální k nedegenerované kuželosečce je podmnožinou duální čáry a ne oválná křivka (v duální rovině). Duální kuželosečka je tedy nedegenerovaná pouze v případě, že charakteristika zemního pole není rovna 2.

Příklad

V následujícím příkladu jsou známy obrazy tří bodů : . Projektivní mapování může být reprezentováno jako kompozice perspektivních mapování : $A,U,W$ $\pi (A)=B,\,\pi (U)=W,\,\pi (W)=V$ $\pi$ $\pi _{B},\pi _{A}$

1) je perspektivní mapování množiny bodů na přímce na množinu bodů na přímce se středem .

\pi _{B}

u

Ó

B

2) je perspektivní mapování množiny bodů na čáře na množinu bodů na čáře se středem .

\pi _{A}

Ó

proti

A

Je snadné ověřit, že mapování vyhovuje . Pro libovolný bod lze tedy sestrojit jeho obraz a přímka je prvkem duální kuželosečky. $\pi =\pi _{A}\pi _{B}$ $\pi (A)=B,\,\pi (U)=W,\,\pi (W)=V$ $G$ $\pi (G)=\pi _{A}\pi _{B}(G)$ ${\overline {G\pi (G)))$

Poznámky

↑ Coxeter, 1993 , str. 80.
↑ Merserve, 1983 , str. 65.
↑ 12 Hartmann , str. 38.
↑ Jacob Steiner's Vorlesungen über synthetische Geometrie , BG Teubner, Lipsko 1867 část II , str. 96
↑ Hartmann, , str. 19

Literatura

Coxeter, HSM The Real Projective Plane, Springer Science & Business Media, 1993
Hartmann, Erich , Geometrie rovinných kruhů, úvod do rovin Moebius, Laguerre a Minkowski
Merserve, Bruce E. Fundamental Concepts of Geometry, Dover, (1983) [1959], ISBN 0-486-63415-9