Kontaktní číslo (někdy Newtonovo číslo [1] [2] , v chemii odpovídá koordinačnímu číslu [2] ) - maximální počet kuliček o jednotkovém poloměru , které se mohou současně dotknout jedné stejné koule v n - rozměrném euklidovském prostoru ( tj. předpokládá se, že kuličky do sebe nepronikají, to znamená, že objem průniku libovolných dvou kuliček je roven nule).
Je nutné odlišit kontaktní číslo od kontaktního čísla na mřížce [3] - podobný parametr pro nejhustší pravidelné balení kuliček . Výpočet kontaktního čísla v obecném případě je stále nevyřešeným matematickým problémem .
V jednorozměrném případě se stejného segmentu nemohou dotýkat více než dva segmenty jednotkové délky:
Ve dvourozměrném případě lze problém interpretovat jako nalezení maximálního počtu mincí dotýkajících se centrální. Obrázek ukazuje, že můžete umístit až 6 mincí:
To znamená, že . Na druhou stranu každá tečná kružnice uřízne na středové kružnici oblouk 60° a tyto oblouky se neprotínají, takže . Je vidět, že v tomto případě se odhady shora a zdola shodují a .
V trojrozměrném případě mluvíme o koulích. Zde je také snadné sestavit příklad s 12 koulemi dotýkajícími se centrální - jsou umístěny ve vrcholech dvacetistěnu - proto . Tato spodní hranice byla již Newtonovi známa .
Toto uspořádání je volné, mezi kuličkami budou docela znatelné mezery. Odhad shora se stal v roce 1694 příčinou známého sporu mezi Newtonem a D. Gregorym . Newton tvrdil, že a Gregory namítal, že by mohlo být možné uspořádat 13 míčů. Provedl výpočty a zjistil, že plocha centrální koule je více než 14krát větší než plocha projekce každé z dotýkajících se koulí, takže . Pokud dovolíte změnit poloměry kuliček o 2 %, pak je možné naklonit až 14 kuliček.
Teprve v roce 1953 se v článku Schütteho a van der Waerdena [4] konečně prokázalo, že Newton měl pravdu, a to i přes nedostatek rigorózního důkazu.
Ve čtyřrozměrném případě je docela obtížné si představit koule. Rozmístění 24 čtyřrozměrných koulí kolem té centrální je známo již delší dobu , je stejně pravidelný jako v dvourozměrném případě a současně řeší problém kontaktního čísla na mřížce. Toto je stejné umístění jako celočíselné jednotky čtveřice .
Toto uspořádání výslovně uvedl v roce 1900 Gosset [5] . Ještě dříve ji našli (v ekvivalentním problému) v roce 1872 ruští matematici Korkin a Zolotarev [6] [7] . Toto místo dalo hodnocení zespodu .
Pokusy odhadnout toto číslo shora vedly k vývoji jemných metod teorie funkcí, ale nedaly přesný výsledek. Nejprve se nám to podařilo dokázat , pak se nám podařilo snížit horní hranici na . Nakonec se to v roce 2003 podařilo ruskému matematikovi Olegu Musinovi dokázat [8] .
V dimenzích 8 a 24 byl přesný odhad získán v 70. letech [9] [10] . Důkaz je založen na rovnosti kontaktního čísla a kontaktního čísla na mříži v těchto rozměrech: mřížka E8 (pro rozměr 8) a mřížka Leach (pro rozměr 24).
V současné době jsou přesné hodnoty kontaktních čísel známy pouze pro , ale také pro a . Pro některé další hodnoty jsou známy horní a dolní meze.
Dimenze | Sečteno a podtrženo | Horní hranice |
---|---|---|
jeden | 2 | |
2 | 6 | |
3 | 12 | |
čtyři | 24 [8] | |
5 | 40 | 44 [11] |
6 | 72 | 78 [11] |
7 | 126 | 134 [11] |
osm | 240 | |
9 | 306 | 364 [11] |
deset | 500 | 554 |
jedenáct | 582 | 870 |
12 | 840 | 1 357 |
13 | 1154 [12] | 2069 |
čtrnáct | 1606 [12] | 3 183 |
patnáct | 2564 | 4 866 |
16 | 4 320 | 7 355 |
17 | 5 346 | 11 072 |
osmnáct | 7 398 | 16 572 [11] |
19 | 10 688 | 24 812 [11] |
dvacet | 17 400 | 36 764 [11] |
21 | 27 720 | 54 584 [11] |
22 | 49 896 | 82 340 |
23 | 93 150 | 124 416 |
24 | 196 560 |
Problém má praktické využití v teorii kódování. V roce 1948 publikoval Claude Shannon práci o teorii informace ukazující možnost bezchybného přenosu dat v hlučných komunikačních kanálech pomocí souřadnic balení jednotkových koulí v n-rozměrném prostoru. Viz také Hammingova vzdálenost .