Kontaktní číslo

Kontaktní číslo (někdy Newtonovo číslo [1] [2] , v chemii odpovídá koordinačnímu číslu [2] ) - maximální počet kuliček o jednotkovém poloměru , které se mohou současně dotknout jedné stejné koule v n - rozměrném euklidovském prostoru ( tj. předpokládá se, že kuličky do sebe nepronikají, to znamená, že objem průniku libovolných dvou kuliček je roven nule).

Je nutné odlišit kontaktní číslo od kontaktního čísla na mřížce [3]  - podobný parametr pro nejhustší pravidelné balení kuliček . Výpočet kontaktního čísla v obecném případě je stále nevyřešeným matematickým problémem .

Historie

V jednorozměrném případě se stejného segmentu nemohou dotýkat více než dva segmenty jednotkové délky:

Ve dvourozměrném případě lze problém interpretovat jako nalezení maximálního počtu mincí dotýkajících se centrální. Obrázek ukazuje, že můžete umístit až 6 mincí:

To znamená, že . Na druhou stranu každá tečná kružnice uřízne na středové kružnici oblouk 60° a tyto oblouky se neprotínají, takže . Je vidět, že v tomto případě se odhady shora a zdola shodují a .

V trojrozměrném případě mluvíme o koulích. Zde je také snadné sestavit příklad s 12 koulemi dotýkajícími se centrální - jsou umístěny ve vrcholech dvacetistěnu  - proto . Tato spodní hranice byla již Newtonovi známa .

Toto uspořádání je volné, mezi kuličkami budou docela znatelné mezery. Odhad shora se stal v roce 1694 příčinou známého sporu mezi Newtonem a D. Gregorym . Newton tvrdil, že a Gregory namítal, že by mohlo být možné uspořádat 13 míčů. Provedl výpočty a zjistil, že plocha centrální koule je více než 14krát větší než plocha projekce každé z dotýkajících se koulí, takže . Pokud dovolíte změnit poloměry kuliček o 2 %, pak je možné naklonit až 14 kuliček.

Teprve v roce 1953 se v článku Schütteho a van der Waerdena [4] konečně prokázalo, že Newton měl pravdu, a to i přes nedostatek rigorózního důkazu.

Ve čtyřrozměrném případě je docela obtížné si představit koule. Rozmístění 24 čtyřrozměrných koulí kolem té centrální je známo již delší dobu , je stejně pravidelný jako v dvourozměrném případě a současně řeší problém kontaktního čísla na mřížce. Toto je stejné umístění jako celočíselné jednotky čtveřice .

Toto uspořádání výslovně uvedl v roce 1900 Gosset [5] . Ještě dříve ji našli (v ekvivalentním problému) v roce 1872 ruští matematici Korkin a Zolotarev [6] [7] . Toto místo dalo hodnocení zespodu .

Pokusy odhadnout toto číslo shora vedly k vývoji jemných metod teorie funkcí, ale nedaly přesný výsledek. Nejprve se nám to podařilo dokázat , pak se nám podařilo snížit horní hranici na . Nakonec se to v roce 2003 podařilo ruskému matematikovi Olegu Musinovi dokázat [8] .

V dimenzích 8 a 24 byl přesný odhad získán v 70. letech [9] [10] . Důkaz je založen na rovnosti kontaktního čísla a kontaktního čísla na mříži v těchto rozměrech: mřížka E8 (pro rozměr 8) a mřížka Leach (pro rozměr 24).

Známé hodnoty a odhady

V současné době jsou přesné hodnoty kontaktních čísel známy pouze pro , ale také pro a . Pro některé další hodnoty jsou známy horní a dolní meze.

Dimenze Sečteno a podtrženo Horní hranice
jeden 2
2 6
3 12
čtyři 24 [8]
5 40 44 [11]
6 72 78 [11]
7 126 134 [11]
osm 240
9 306 364 [11]
deset 500 554
jedenáct 582 870
12 840 1 357
13 1154 [12] 2069
čtrnáct 1606 [12] 3 183
patnáct 2564 4 866
16 4 320 7 355
17 5 346 11 072
osmnáct 7 398 16 572 [11]
19 10 688 24 812 [11]
dvacet 17 400 36 764 [11]
21 27 720 54 584 [11]
22 49 896 82 340
23 93 150 124 416
24 196 560

Aplikace

Problém má praktické využití v teorii kódování. V roce 1948 publikoval Claude Shannon práci o teorii informace ukazující možnost bezchybného přenosu dat v hlučných komunikačních kanálech pomocí souřadnic balení jednotkových koulí v n-rozměrném prostoru. Viz také Hammingova vzdálenost .

Viz také

Poznámky

  1. ↑ Yaglom, I. M. Problém třinácti koulí . - Kyjev: Vishcha school, 1975. - 84 s.
  2. ↑ 1 2 J. Conway, N. Sloan. Balení kuliček, mřížek a skupin . - M .: Mir, 1990. - T. 1. - 415 s. — ISBN 5-03-002368-2 . Archivovaná kopie (nedostupný odkaz) . Získáno 29. května 2011. Archivováno z originálu dne 6. října 2014. 
  3. ↑ Kontaktní čísla sítě: sekvence OEIS A001116
  4. ↑ Schütte, K. a van der Waerden, BL Das Problem der dreizehn Kugeln  (neurčité)  // Math. Ann. . - 1953. - T. 125 , č. 1 . - S. 325-334 . - doi : 10.1007/BF01343127 .
  5. ↑ Gosset, Thorold. O pravidelných a polopravidelných obrazcích v prostoru n rozměrů  //  Posel matematiky : deník. - 1900. - Sv. 29 . - str. 43-48 .
  6. ↑ Korkine A., Zolotareff G. Sur les formesatiques positive  quaternaires (neopr.)  // Math. Ann. . - 1872. - V. 5 , č. 4 . - S. 581-583 . - doi : 10.1007/BF01442912 . Rus. přel.: Zolotarev E. I. Full. kol. op. - L . : Nakladatelství Akademie věd SSSR, 1931. - S. 66-68.
  7. ↑ N. N. Andreev, V. A. Yudin. Arfimetické minimum kvadratické formy a sférické kódy  // Matematické vzdělání . - 1998. - č. 2 . - S. 133-140 .
  8. ↑ 1 2 Musin O. R. Problém dvaceti pěti sfér  // Pokroky v matematických vědách . - Ruská akademie věd , 2003. - T. 58 , č. 4 (352) . - S. 153-154 .
  9. ↑ Levenshtein V. I. O hranicích pro balení v n - rozměrném euklidovském prostoru // DAN SSSR. - 1979. - T. 245 . - S. 1299-1303 .
  10. ↑ A.M. Odlyzko, NJA Sloane. Nové hranice počtu jednotkových koulí, které se mohou dotýkat jednotkové koule v n rozměrech  //  J. Kombinovat. Teorie Ser. A  : deník. - 1979. - Sv. 26 . - str. 210-214 . - doi : 10.1016/0097-3165(79)90074-8 .
  11. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Hans D. Mittelmann a Frank Vallentin. [ http://arxiv.org/abs/0902.1105 Vysoce přesné polodefiniční programovací hranice pro líbání čísel] // Experimentální matematika. - 2010. - T. 19 , č. 2 . - S. 174-178 .
  12. ↑ 1 2 V. A. Zinověv, T. Erickson. Nové spodní hranice pro kontaktní číslo pro malé rozměry  // Problém. přenos informací .. - 1999. - T. 35 , č. 4 . - S. 3-11 .

Odkazy