Kontinuální

Kontinuant je určitý polynom v několika proměnných spojených s pokračujícími zlomky .

Definice

Rekurzivní

Kontinuant indexu n je polynom definovaný vztahem opakování : $K_n(x_1;\;\ldots;\;x_n)$

K_{-1}=0,\qquad K_0 = 1,

K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n) = x_n K_{n-1}(x_1,\;\ldots,\;x_{n-1}) + K_{n-2}(x_1,\; \ldots,\;x_{n-2}).

Prostřednictvím determinantu

Kontinuant může být také definován jako determinant tridiagonální matice

K_{n}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})=\det {\begin{pmatrix}x_{1}&1&0&\cdots &0\ \-1&x_{2}&1&\dtečky &\vtečky \\0&-1&\dtečky &\dtečky &0\\\vtečky &\dtečky &\dtečky &\dtečky &1\\0&\ctečky &0&-1&x_{n}\end {pmatrix}}.

Vlastnosti

Kontinuant je součet všech monočlenů získaných z monočlenu vymazáním všech možných neprotínajících se dvojic sousedních proměnných ( Eulerovo pravidlo ). $K_n(x_1;\;\ldots;\;x_n)$ $x_1\cdot\ldots\cdot x_n$
- Příklad: $K_5(x_1,\;x_2,\;x_3,\;x_4,\;x_5) = x_1 x_2 x_3 x_4 x_5\; +\; x_3 x_4 x_5\; +\; x_1 x_4 x_5\; +\; x_1 x_2 x_5\; +\; x_1 x_2 x_3\; +\; x_1\; +\; x_3\; +\; x_5.$
- Následek: Kontinuanty mají zrcadlovou symetrii: $K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n) = K_n(x_n,\;\ldots,\;x_1).$
$K_n(1;\;\ldots,\;1) = F_{n+1}$ je Fibonacciho číslo .
Správná identita je: $\frac{K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n)}{K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_n)} = x_1 + \frac{K_{n-2}( x_3,\;\ldots,\;x_n)}{K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_n)}$
V oboru racionálních zlomků $\frac{K_n(x_1,\;\ldots,x_n)}{K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_n)} = [x_1;\;x_2,\;\ldots,\; x_n] = x_1 + \frac{1}{\displaystyle{x_2 + \frac{1}{x_3 + \ldots}}}$ - řetězová střela .
Správný maticový vztah je: $\begin{pmatrix} K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n) & K_{n-1}(x_1,\;\ldots,\;x_{n-1}) \\ K_{n-1} (x_2,\;\ldots,\;x_n) & K_{n-2}(x_2,\;\ldots,\;x_{n-1}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\times\ldots\times\begin{pmatrix} x_n & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ .
- Odkud pochází identita pro determinanty: $K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n)\cdot K_{n-2}(x_2,\;\ldots,\;x_{n-1}) - K_{n-1}(x_1,\; \ldots,\;x_{n-1})\cdot K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_{n}) = (-1)^n.$
- Stejně jako: $K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_n)\cdot K_{n+2}(x_1,\;\ldots,\;x_{n+2}) - K_n(x_1,\; \ldots,\;x_n)\cdot K_{n+1}(x_2,\;\ldots,\;x_{n+2}) = (-1)^{n+1} x_{n+2}.$

Odkazy

Siziy SV Přednášky o teorii čísel . — Učebnice pro matematické odbornosti. - Jekatěrinburg: Uralská státní univerzita pojmenovaná po. A. M. Gorkij, 1999.
Prasolov VV Úlohy a věty lineární algebry . — M .: Nauka, 1996. — ISBN 5-02-014727-3 .