Kurtózní koeficient

Koeficient špičatosti (koeficient špičatosti) v teorii pravděpodobnosti je mírou ostrosti vrcholu distribuce náhodné veličiny.

Definice

Nechť je dána náhodná veličina taková, že . Dovolit označuje čtvrtý centrální moment : , a je směrodatná odchylka . Pak je koeficient špičatosti dán vzorcem: $X$ ${\mathbb {E}}|X|^{4}<\infty$ $\mu_{4}$ $\mu _{4}={\mathbb {E}}\left[(X-{\mathbb {E}}X)^{4}\right]$ $\sigma ={\sqrt {{\mathrm {D}}[X]}}$ $X$

\gamma _{2}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}-3

Poznámka

"Minus tři" na konci vzorce je zavedeno tak, aby koeficient špičatosti standardního normálního rozdělení byl roven nule. Je pozitivní, pokud je vrchol distribuce blízko očekávané hodnoty ostrý, a negativní, pokud je vrchol velmi hladký.

Vlastnosti koeficientu špičatosti

$\gamma _{2}\in [-2,\infty )$ .
Dovolit být nezávislé náhodné proměnné se stejným rozptylem . Nechte _ Pak $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $Y=\součet \limits _{{i=1}}^{n}X_{i}$

\gamma _{{2,Y}}={\frac {1}{n^{2}}}\sum \limits _{{i=1}}^{n}\gamma _{{2,X_{ já}}}

kde jsou koeficienty špičatosti odpovídajících náhodných veličin. $\gamma _{{2,Y}},\gamma _{{2,X_{i}}},\;i=1,\ldots ,n$

Viz také

Okamžiky náhodné veličiny .