Sylvesterovo kritérium

Kritérium Sylvester určuje, zda je symetrická čtvercová matice kladně (negativní, nezáporná) definitivní .

Nechť má kvadratická forma matici v nějaké bázi

A=\left|{\begin{vmatrix}a_{{11}}&a_{{12}}&\ldots &a_{{1n}}\\a_{{21}}&a_{{22}}&\ldots &a_ {{2n}}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{{n1}}&a_{{n2}}&\ldots &a_{{nn}}\end{vmatrix}}\right| .

Pak je tato forma pozitivně definitní právě tehdy, když všechny její úhlové minory o velikostech i × i , kde i se pohybuje přes všechna celá čísla od 1 do n včetně, jsou kladné; a je záporně určitý právě tehdy, když se znaménka střídají, navíc [1] . Zde jsou úhlové minory matice determinanty formy $\Delta _{i}$ $\Delta _{i}$ $\Delta _{1}<0$ $A$

\Delta _{1}=a_{11},\ \Delta _{2}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{ vmatrix}},\ldots ,\Delta _{i}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1i}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{ 2i}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{i1}&a_{i2}&\ldots &a_{ii}\end{vmatrix}},\ldots

Důkaz

Kritérium pro pozitivní určitost kvadratické formy

To kritérium říká

Aby byla kvadratická forma pozitivně definitní, je nutné a postačující , aby úhlové minory její matice byly kladné.

Jeho důkaz je založen na Jacobiho metodě redukce kvadratické formy na kanonickou formu.

Důkaz o nezbytnosti

Nechť je kladná určitá kvadratická forma. Pak je j -tý diagonální prvek kladný, protože , kde je vektor se všemi nulovými souřadnicemi kromě j -tého. Při redukci matice na kanonickou formu nebude vzhledem k nedegeneraci úhlových minorů potřeba přeskupovat řádky, tudíž se v důsledku toho nezmění znaménka hlavních minoritních matice. A v kanonické formě jsou diagonální prvky kladné, a proto jsou vedlejší kladné; proto (protože se jejich znaménko během transformací neměnilo) pro kladnou určitou kvadratickou formu v jakékoli bázi jsou hlavní minority matice kladné. $q(x)$ $q(e_{j})>0$ $e_j$

Důkaz dostatečnosti

Je dán symetrický kvadratický tvar, jehož všechny úhlové minory jsou kladné. Uvažujme nejprve první diagonální prvek v jeho kanonické podobě: jeho znaménko je určeno první úhlovou moll. Dále znaménko čísla určuje znaménko ( i + 1)-tého prvku v diagonálním tvaru. Ukazuje se, že v kanonické formě jsou všechny prvky na diagonále kladné, to znamená, že kvadratická forma je pozitivně definována. [2] ${\displaystyle \Delta _{i+1}/\Delta _{i))$

Kritérium negativní určitosti kvadratické formy

Aby byla kvadratická forma záporně definitní, je nutné a postačující, aby sudé úhlové minory její matice byly kladné a liché záporné.

Důkaz se redukuje na předchozí případ, protože matice je negativně definitní tehdy a jen tehdy, když je matice pozitivně definitní. Když je matice nahrazena jejím opakem, hlavní minority lichého řádu se změní znaménko, zatímco hlavní minority sudého řádu zůstávají stejné kvůli základním vlastnostem determinantů. $A$ $-A$ $A$

Kritérium pro semiurčitost kvadratické formy

Pro kladné semidefinitní matice je kritérium podobné: forma je kladně semidefinitní právě tehdy, když jsou všechny hlavní minority nezáporné. Hlavní vedlejší je zde determinant podmatice, která je symetrická vzhledem k hlavní diagonále, tj. podmatice, jejíž sady čísel sloupců a řádků, které ji specifikují, jsou stejné (například 1. a 3. sloupec a řádky na na jejímž průsečíku se matice nachází) [3] .

Nezápornost pouze úhlových minorů nestačí, což vyplývá z protipříkladu : , ale forma není kladně semidefinitní. ${\begin{pmatrix}0&0\\0&-1\end{pmatrix}}$ $\Delta _{1}=\Delta _{2}=0\geqslant 0$

Viz také

James Joseph Sylvester

Poznámky

↑ Sylvesterovo kritérium pro znaménkovou určitost kvadratické formy . (neurčitý)
↑ D. V. Beklemishev, Kurz analytické geometrie a lineární algebry , Moskva: FIZMATLIT, 2007.
↑ Kim G.D., Kritskov L.V. Algebra a analytická geometrie: věty a problémy. T. 2.2 . - Moskva: Zertsalo, 2003. - S. 155. - 251 s. — ISBN 5-94373-077-X .