Kritérium stability Nyquist-Michajlov

Nyquistovo -Michajlovovo kritérium stability je jedním ze způsobů, jak posoudit stabilitu uzavřeného řídicího systému pomocí amplitudově-fázové frekvenční odezvy jeho otevřeného stavu. Je to jedno z kritérií stability frekvence. Pomocí tohoto kritéria je velmi snadné vyhodnotit stabilitu, aniž by bylo nutné počítat póly přenosové funkce v uzavřené smyčce .

Stav stability

Přenosová funkce dynamického systému může být reprezentována jako zlomek $\ T(s)$

\ T(s)={\frac {N(s)}{D(s))

Stability je dosaženo, když jsou všechny jeho póly v levé polorovině . Neměly by být ve správné polorovině. Pokud se získá negativní zpětnou vazbou přenosové funkce s otevřenou smyčkou , pak póly přenosové funkce s uzavřenou smyčkou jsou nuly funkce . Výraz se nazývá charakteristická rovnice systému. $\ T(s)$ $\s$ $\ T(s)$ $\ F(s)={\frac {A(s)}{B(s)))$ $\ 1+F(s)$ $\ 1+F(s)=0$

Cauchyho princip argumentu

Z teorie funkcí komplexní proměnné je známo, že obrys obklopující určitý počet neanalytických bodů v rovině lze pomocí funkce mapovat do jiné komplexní roviny (roviny ) tak, že výsledný obrys bude pokrývat střed -plane krát, a , kde je číslo nul a je počet pólů funkce . Směr, který se shoduje se směrem obrysu, je považován za kladný a opačný směr za záporný. $\Gamma _{s}\$ $\s$ $\F(s)$ $\F(s)$ $\Gamma _{F(s)}\$ $\ F(S)$ $\n$ $\n=zp$ $\z$ $\p$ $\F(s)$ $\Gamma _{s}\$

Znění kritéria

Nejprve sestrojíme obrys obklopující pravou polorovinu komplexní roviny. Obrys se skládá z následujících částí:

úsek jdoucí nahoru podél osy , od do . $\ j\omega \$ $0-j\infty$ $0+j\infty$
půlkruh o poloměru začínající v bodě a končící v bodě ve směru hodinových ručiček. $r\to\infty$ $0+j\infty$ $0-j\infty$

Dále tento obrys zobrazíme pomocí přenosové funkce otevřeného systému , v důsledku čehož získáme rovinu AFC systému. Podle principu argumentu musí být počet rotací ve směru hodinových ručiček kolem počátku roven počtu nul funkce mínus počet pólů v pravé polorovině. Pokud vezmeme v úvahu bod místo počátku , dostaneme rozdíl mezi počtem nul a pólů v pravé polorovině funkce . Všimněte si, že funkce má stejné póly jako funkce a póly otevřeného systému jsou nulami uzavřeného systému, formulujeme Nyquist-Michajlovovo kritérium : $\F(s)$ $\F(s)$ $\F(s)$ $\ -1+j0$ $\ 1+F(s)$ $\ 1+F(s)$ $\F(s)$

Dovolit být uzavřená smyčka v komplexní rovině, být počet pólů na které se vztahuje smyčka , a být počet nul na které se vztahuje , To znamená, že počet pólů na které se vztahuje . Výsledný obrys v -rovině musí, aby byla zajištěna stabilita uzavřeného systému, pokrývat (ve směru hodinových ručiček) bodové časy, kde . $\Gamma _{s}\$ $\p$ $\F(s)$ $\Gamma _{s}\$ $\z$ $\F(s)$ $\Gamma _{s}\$ $\ T(s)$ $\Gamma _{s}\$ $\F(s)$ $\Gamma _{F(s)}\$ $\ -1+j0$ $\n$ $\n=zp$

V ruskojazyčné literatuře, vydávané především v SSSR, existuje odlišná formulace kritéria, které se v tomto případě nazývá Michajlovovo kritérium (kritérium stability navrhl sovětský vědec A.V. Michajlov v roce 1936 [1] ):

Řádový systém je stabilní, pokud jeho frekvenční hodograf začínající na kladné reálné poloose komplexní roviny postupně prochází souřadnicovými kvadranty, aniž by se kdekoli otočil k 0. $\n$ $\n$

Důsledky Nyquist-Michajlovova kritéria:

Pokud je systém s otevřenou smyčkou s přenosovou funkcí stabilní, systém s uzavřenou smyčkou je stabilní, pokud fázová odezva s otevřenou smyčkou nepokrývá bod (−1; j0). $\F(s)$
Pokud je otevřený systém nestabilní, musí se počet otáček kolem bodu −1 rovnat počtu pólů v pravé polorovině. $\F(s)$ $\F(s)$
Počet dodatečných rozpětí (větších než ) kolem bodu −1 je přesně roven počtu nestabilních pólů uzavřeného systému. $\n+p$

Viz také

Kritérium stability trasy
Hurwitzovo kritérium stability
Kritérium stability ve stavovém prostoru
LAFCHH

Poznámky

↑ § 5.3. Michajlovovo kritérium stability . scask.ru _ Staženo: 7. srpna 2022. (neurčitý)

Literatura

Michajlov A. V. O novém přístupu ke studiu uzavřených řízených systémů // Automatizace a telemechanika. - 1973. - č. 8 .
Nyquist , H. 1932. Teorie regenerace. Bell System Technical Journal, 11, pp. 126-147.
Chernetsky VI Matematické modelování dynamických systémů. - Petrozavodsk: Petrozavodský stát. un-t, 1996. - 432 s. — ISBN 5-230-08981-4 .