Charakteristický polynom matice

Charakteristickým polynomem matice je polynom , který určuje její vlastní čísla .

Definice

Pro danou matici , kde je matice identity , je polynom v , který se nazývá charakteristický polynom matice (někdy také sekulární rovnice ) . $A$ $\chi (\lambda )=\det(A-\lambda E)$ $E$ $\lambda$ $A$

Hodnota charakteristického polynomu je, že vlastní čísla matice jsou její kořeny. Pokud má rovnice nenulové řešení, pak je matice degenerovaná a její determinant je roven nule. $Av=\lambda v$ $(A-\lambda E)v=0$ $A-\lambda E$ $\det(A-\lambda E)=\chi (\lambda )$

Související definice

Matice se nazývá charakteristická matice matice . $A-\lambda E$ $A$
Rovnice se nazývá charakteristická maticová rovnice . $\chi (\lambda)=0$ $A$
Charakteristický polynom grafu je charakteristický polynom jeho matice sousednosti .

Vlastnosti

Pro matici má charakteristický polynom stupeň . $n\krát n$ $n$
Všechny kořeny charakteristického polynomu matice jsou její vlastní čísla .
Hamiltonova-Cayleyova věta : jestliže je charakteristický polynom matice, pak. $\chi (\lambda )$ $A$ $\chi (A) = 0$
Charakteristické polynomy podobných matic se shodují: . $\chi _{{ABA^{{-1}}}}=\chi _{{B}}$
Charakteristický polynom inverzní matice: . $\chi _{A^{-1}}(\lambda )={\frac {(-\lambda )^{n}}{\det A}}\chi _{A}(1/\lambda )$

Důkaz:

${\begin{aligned}{\det A}\cdot \chi _{A^{-1}}(\lambda )&={\det A}\cdot \det(A^{-1}- \lambda E)=\det(A(A^{-1}-\lambda E))\\&=\det(E-\lambda A)=(-1)^{n}\det(\lambda AE )\\&=(-\lambda )^{n}\det(A-(1/\lambda )E)=(-\lambda )^{n}\chi _{A}(1/\lambda )\ konec{aligned}}$

Jestliže a jsou dvě matice , pak . Zejména to znamená, že stopa jejich produktu a . $A$ $B$ $n\krát n$ $\chi _{{AB}}\,=\,\chi _{{BA}}$ ${\mathrm {tr}}\,(AB)={\mathrm {tr}}\,(BA)$ $\det(AB)=\det(BA)$
V obecnější podobě, if je matice , a je matice , a , takže a jsou čtvercové matice dimenzí a , v tomto pořadí, pak: $A$ $m\krát n$ $B$ $n\krát m$ $m<n$ $AB$ $BA$ $m$ $n$

\chi _{{BA}}(\lambda )\,=\,\lambda ^{{nm}}\,\chi _{{AB}}(\lambda)

Odkazy

V. Yu. Kiselev, A. S. Pyartli, T. F. Kalugina. Algebra pro pokročilé. Lineární algebra . — Ivanovská státní energetická univerzita. Archivováno 23. prosince 2008 na Wayback Machine

Vektory a matice

vektory

Základní pojmy	Vektor v geometrii Základ Ortogonální základ Vektorové souřadnice Kolinearita Ortogonalita Lineární závislost Prostor sloupců
Druhy vektorů	Jednotkový vektor Axiální vektor izotropní vektor Normální Kolinearita Nulový vektor Vektor poloměru Vlastní vektor
Operace s vektory	Skalární součin vektorový produkt smíšený produkt Pseudoskalární produkt Dvojitý křížový produkt
Typy prostoru	vektorový prostor afinní prostor Euklidovský prostor Pseudoeuklidovský prostor Normovaný prostor Minkowského prostor

matrice

Základní pojmy	Maticové násobení Transponovaná matice Hermitovská konjugovaná matice Symetrická matice inverzní matice Vlastní hodnota Charakteristický polynom matice
Speciální matrice	Matice identity Nulová matice Diagonální matice lambda matrice
Maticové rozklady	LU rozklad Choleský rozklad QR rozklad rozklad LUP singulární rozklad hodnoty Spektrální rozklad matice

jiný