Hurwitzovo kritérium stability

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 24. října 2021; kontroly vyžadují 6 úprav .

Hurwitzovo kritérium stability je jedním ze způsobů analýzy stability lineárního stacionárního dynamického systému vyvinutého německým matematikem Adolfem Hurwitzem . Spolu s Routhovým kritériem je zástupcem rodiny algebraických kritérií stability, na rozdíl od frekvenčních kritérií, jako je Nyquist-Mikhailovovo kritérium stability . Výhodou metody je její zásadní jednoduchost, nevýhodou nutnost provedení operace výpočtu determinantu, která je spojena s určitými výpočetními jemnostmi (např. u velkých matic se může objevit výrazná výpočetní chyba).

Formulace

Metoda pracuje s koeficienty charakteristické rovnice soustavy. Nechť je přenosová funkce systému a nechť je charakteristická rovnice systému. Charakteristický polynom znázorníme ve tvaru $W(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}$ $\ U(s)=0$ $\ U(s)$

{\displaystyle \ U(s)=a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+...+a_{n))

kde je složitý argument. $s$

Z koeficientů charakteristické rovnice se sestrojí Hurwitzův determinant podle algoritmu : $\Delta$

podél hlavní diagonály zleva doprava jsou nastaveny všechny koeficienty charakteristické rovnice od do ; ${\displaystyle \a_{1))$ ${\displaystyle \a_{n))$
od každého prvku úhlopříčky nahoru a dolů se doplní sloupce determinantu tak, že indexy klesají shora dolů;
nuly jsou umístěny místo koeficientů s indexy menšími než nula nebo většími . $\n$

Rozměr Hurwitzovy matice je určen maximálním výkonem v s v charakteristické rovnici (tj. n ).

Nebo výslovně [1]

$\Delta ={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&\ldots &0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&\ldots &0\\0&a_{ 1}&a_{3}&\ldots &0\\0&a_{0}&a_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &a_{n}\end{vmatrix}}$

Pak podle Hurwitzova kritéria :

Aby byl dynamický systém stabilní, je nutné a postačující, aby všechny hlavní diagonální minory Hurwitzova determinantu byly kladné, za předpokladu, že . Tito nezletilí se nazývají Hurwitzovy determinanty. $\n$ $a_{0}>0$

(Příklad Hurwitzova determinantu pro charakteristickou rovnici pátého stupně.)

Máme charakteristickou rovnici pátého stupně: . Hurwitzovy determinanty budou vypadat takto: $\ U(s)=a_{0}s^{5}+a_{1}s^{4}+a_{2}s^{3}+a_{3}s^{2}+a_ {4}s+a_{5}$

$\Delta _{5}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&0&0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&0&0\\0&a_{1} &a_{3}&a_{5}&0\\0&a_{0}&a_{2}&a_{4}&0\\0&0&a_{1}&a_{3}&a_{5}\end{vmatrix}}$ , , , a . Pro stabilitu dynamického systému je nutné a postačující, aby všech pět determinantů bylo kladných. $\Delta _{4}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&0\\0&a_{1} &a_{3}&a_{5}\\0&a_{0}&a_{2}&a_{4}\end{vmatrix}}$ $\Delta _{3}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}\\a_{0}&a_{2}&a_{4}\\0&a_{1}&a_{ 3}\end{vmatrix}}$ $\Delta _{2}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\a_{0}&a_{2}\end{vmatrix}}$ $\Delta _{1}={\begin{vmatrix}a_{1}\end{vmatrix}}$

Při analýze stavu Hurwitzova kritéria si lze všimnout jeho nadbytečnosti. Počet nerovností lze snížit na polovinu pomocí Liénard-Schiparovy věty . Výpočtově se však složitost kritéria výrazně nesnižuje, protože při výpočtu minoru vyššího řádu je nejčastěji nutné počítat minority nižších řádů.

Výhody a nevýhody

Nevýhodou Hurwitzova kritéria je jeho nízká viditelnost. Výhoda - vhodné pro implementaci na počítači. Často se používá k určení vlivu jednoho z parametrů ACS na jeho stabilitu. Takže rovnost hlavního determinantu na nulu znamená, že systém je na hranici stability. V tomto případě buď - za ostatních podmínek je systém na hranici aperiodické stability, nebo předposlední moll - pokud jsou všechny ostatní minory kladné, je systém na hranici oscilační stability. Parametry ACS určují hodnoty koeficientů rovnice dynamiky, proto změna jakéhokoli parametru ovlivňuje hodnotu determinantu . Zkoumáním tohoto vlivu lze zjistit, při jaké hodnotě se determinant rovná nule a poté je záporný. To bude limitní hodnota zkoumaného parametru, po jejímž překročení se systém stává nestabilním. $\Delta _{n}=\Delta _{n-1}=0$ $\Delta _{n}=0$ $\Delta _{n-1}=0$ $K_{i}$ $\Delta _{n-1}$ $K_{i}$ $\Delta _{n-1}$

K problematice automatizace metody

Hurwitzova metoda je docela vhodná pro určení stability spojů pomocí počítače. V tomto případě je však třeba vzít v úvahu, že použití kritéria pro systémy s řádem vyšším než 5 může vést k významným chybám, protože výpočet determinant vysokého řádu je poměrně komplikovaná operace a vede k hromadění chyby ve výpočtu.

Níže je uveden příklad automatizace práce metody pomocí jednoho z nejběžnějších jazyků pro technické výpočty MATLAB verze 5.3 s jeho syntaxí.

Funkce níže provede všechny potřebné výpočty. Aby fungoval, musí být umístěn v textovém souboru s příponou .m a názvem, který odpovídá názvu samotné funkce, v tomto případě by měl být název souboru raus_gur.m .

funkce [Ust, Mnrs, Mtrx] = raus_gur ( D ) % Stanovení stability systému metodou Routh-Hurwitz, uvedené na % pomoci další přenosové funkce. % %B(s) % W(s) = ----, %D(s) % % Zde D(s) je charakteristický polynom. % % D(s) = a0*s^n + a1*s^(n-1) + a2*s^(n-2) + ... + an % % a0, a1, a2, ..., an - koeficienty polynomu D. % % % Volání funkce RAUS_GUR lze provést dvěma způsoby: % % Metoda 1. % %[Ust, Mnrs, Mtrx] = raus_gur(D); % % vstupních parametrů: %D - vektor koeficientů jmenovatele (charakteristický polynom) % % výstupní parametry: % ust - řetězcová hodnota udávající, zda je systém stabilní nebo nestabilní % % Mnrs - vektor hodnot nezletilých od nejmenší po největší, %, které se musí vypočítat pro posouzení stability metodou Routh-Hurwitz. % Podle Routh-Hurwitzovy metody je systém stabilní, pokud jsou všichni nezletilí pozitivní. % Výpočty hodnoty vnějšího moll nedávají smysl, protože jeho znaménko % bude vždy odpovídat znaménku předchozího vedlejšího. % % Mtrx je úplná Routh-Hurwitzova matice pro daný polynom. % % Metoda 2. % %[Ust, Mnrs, Mtrx] = raus_gur(W); % % vstupních parametrů: %W - objekt třídy LTI (viz popis ovládacího systému Toolbox) % % Výstupní parametry jsou stejné jako výše. % % % Zaměřeno na práci ve verzi MATLAB 2022a if isa ( D , 'tf' ) [ ~ , D ]= tfdata ( D , 'v' ); konec n = délka ( D ) -2 ; _ Dr =[ D nuly ( 1 , n )]; A = flipud ( přetvořit ( Dr , 2 ,[])); Mtrx = cell2mat ( arrayfun (@( x )( circshift ( A ' , x )) ' , ( 0 : n / 2 ) ' , "UniformOutput" , false )); Mnrs = cell2mat ( arrayfun (@( x ) det ( Mtrx ( 1 : x , 1 : x )), ( 2 : n ) ' , "UniformOutput" , false )); Z = '' ; pokud existuje ( Mnrs < 0 ) Z = 'ne' ; konec Ust =[ 'systém ' , Z , 'stabilní' ]; konec

Příklad

Nechť je dána přenosová funkce:

$\operatorname {W} (s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {5\cdot s+4}{{{s}^{5}} +16\cdot {{s}^{4}}+95\cdot {{s}^{3}}+260\cdot {{s}^{2}}+324\cdot s+144}}$

Potom by volání výše uvedené funkce vypadalo takto:

krátký formát G

[A, B, C] = raus_gur([1 16 95 260 324 144])
A výsledek výpočtu:
A =

"systém je stabilní"

1260

2,4696e+05

6,3504e+07

16 260 144 0 0

1 95 324 0 0

0 16 260 144 0

0 1 95 324 0

0 0 16 260 144

0 0 1 95 324

A hlásí, že systém je stabilní.

Vektor B obsahuje hodnoty diagonálních determinantů od 2x2 do 4x4, první prvek nemá žádnou hodnotu a hodnota vnějšího determinantu bude mít vždy stejné znaménko jako předchozí. Aby byl systém stabilní, musí být podle Hurwitzovy metody všechny tyto determinanty kladné.

Matice C je samotný Hurwitzův determinant.

Tuto funkci lze použít v matematických balíčcích, které mají syntaxi podobnou MATLABu nebo po mírné úpravě.

Systém je na hranici aperiodické stability pokud . Systém je na hranici oscilační stability, pokud je Hurwitzův determinant s indexem (n-1) roven 0. $a_{n}=0$

Viz také

Poznámky

↑ Gantmakher F. R. Teorie matice. - 5. vyd. - M. : Fizmatlit, 2010. - S. 463. - 560 s. - ISBN 978-5-9221-0524-8 .

Literatura

Chetaev N. G. Stabilita pohybu. - M: Nauka, 1965. - 234 s.