Kahlerianův rozdělovač

Kahlerova varieta je varieta se třemi vzájemně kompatibilními strukturami: komplexní strukturou , Riemannovou metrikou a symplektickou formou .

Pojmenována po německém matematikovi Erichu Köhlerovi .

Definice

Jako symplektická manifold: Kählerian manifold je symplektická manifold s integrovatelnou téměř komplexní strukturou , která je v souladu se symplektickou formou . $(K,\omega )$

Jako komplexní varieta: Kählerianova varieta je hermitovská varieta s uzavřenou hermitskou formou. Taková hermitovská forma se nazývá Kählerian.

Spojení mezi definicemi

Nechť být hermitovská forma , být symplektická forma a být téměř komplexní strukturou . Konzistence znamená, že forma : $h$ $\omega$ $J$ $\omega$ $J$

g(u,v)=\omega (u,Jv)

je Riemannian; tedy pozitivní definitivní. Spojení mezi těmito strukturami lze vyjádřit identitou:

h=gi\omega .

Kählerův potenciál

Na komplexním manifoldu každá přísně pluriharmonická funkce generuje Kählerovu formu $K$ $\rho \in C^{\infty }(K;\mathbb {R} )$

\omega ={\frac {i}{2}}\partial {\bar {\partial }}\rho .

V tomto případě se funkce nazývá Kählerův potenciál formy . $\rho$ $\omega$

Opak je pravdou lokálně. Přesněji řečeno, pro každý bod Kählerova manifoldu existuje okolí a funkce , které jsou takové $p$ $(K,\omega )$ $U\ni p$ $\rho \in C^{\infty }(U,\mathbb {R} )$

\omega \vert _{U}=i\partial {\bar {\partial }}\rho

Tomu se říká místní Kählerův potenciál formy . $\rho$ $\omega$

Příklady

Složitý euklidovský prostor se standardní hermitovskou formou. $\mathbb{C}^n$
Každá Riemannovská metrika na orientovatelném povrchu definuje Kählerovu rozdělovači potrubí, protože uzavření je ve skutečné dimenzi dva triviální. $\omega$
Komplexní projektivní prostor s metrikou Fubini-Study . $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$
Indukovaná metrika na komplexní podmanifoldu v Kählerianově manifoldu.
- Zejména jakákoli Steinová varieta a jakákoli projektivní algebraická varieta .
- Podle Kodairovy věty o vnoření je Kählerianova varieta připouštějící kladný svazek s čárovým vláknem vložena do projektivního prostoru.
Povrchy K3
Důležitou podtřídou Kählerových variet jsou Calabi-Yauovy variety .

Viz také

Téměř složité potrubí

Literatura

P. Deligne , Ph. Griffiths, J. Morgan, D. Sullivan. Skutečná homotopická teorie Kählerových variet // Invent. Matematika. - 1975. - T. 29 . — S. 245–274 . - doi : 10.1007/BF01389853 .
E. Kahler . Über eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik // Abh. Matematika. Sem. Univ. Hamburg. - 1933. - T. 9 . — S. 173–186 . - doi : 10.1007/BF02940642 .
R. Hartshorne. Algebraická geometrie. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1977. - ISBN 978-0-387-90244-9 .
Alan Huckleberry a Tilman Wurzbacher, ed. Infinite Dimensional Kähler Manifolds (2001), Birkhauser Verlag, Basilej ISBN 3-7643-6602-8 .
A. Moroianu. Přednášky o Kahlerově geometrii. - Cambridge University Press , 2007. - V. 69. - (London Mathematical Society Student Texts). — ISBN 978-0-521-68897-0 .
A. Weil . Úvod à l'étude des variétés kählériennes. — 1958.