Morse Lemma

Morseovo lemma je výrok popisující chování hladké nebo analytické reálné funkce v okolí nedegenerovaného kritického bodu . Jeden z jednoduchých, ale nejdůležitějších výsledků Morseovy teorie ; pojmenovaný po tvůrci teorie a který stanovil tento výsledek v roce 1925, americký matematik Marston Morse .

Formulace

Dovolit být funkcí třídy , kde , mající bod jako jeho nedegenerovaný kritický bod, to znamená, že v tomto bodě diferenciál zmizí a Hessian je nenulový. Pak v nějakém sousedství bodu existuje systém -hladkých lokálních souřadnic (mapa) s počátkem v bodě , takže pro všechny rovnost [1] $f:\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R}$ $C^{r+2}$ $r\geq 1$ $0\in \mathbb{R} ^{n}$ $\frac{\částečné f}{\částečné x}$ ${\Bigl |}{\frac {\částečný ^{2}f}{\částečný x^{2))}{\Bigr |}$ $U$ $0$ $C^{r}$ $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ $0$ $x\v U$

f(x)=f(0)-x_{1}^{2}-\tečky -x_{k}^{2}+x_{{k+1}}^{2}+\tečky +x_{n }^{2}

V tomto případě se číslo určené signaturou kvadratické části zárodku v bodě nazývá index kritického bodu dané funkce - speciální případ obecného konceptu Morseova indexu . $k$ $F$ $0$ $0$

Variace a zobecnění

Toujronova věta

V okolí kritického bodu konečné násobnosti existuje souřadnicový systém, ve kterém má hladká funkce tvar polynomu stupně ( můžeme vzít Taylorův polynom funkce v bodě v původních souřadnicích). V případě nedegenerovaného kritického bodu se multiplicita a Toujronův teorém změní v Morseovo lemma [1] [2] . $0$ $\mu$ $f(x)$ $P_{{\mu +1}} (x)$ $\mu +1$ $P_{{\mu +1}} (x)$ $f(x)$ $0$ $\mu=1$

Morseovo lemma s parametry

Nechť je hladká funkce, která má jako kritický bod počátek souřadnic , nedegenerovaná v proměnných . Potom v sousedství bodu jsou hladké souřadnice, ve kterých $f(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{m}):\mathbb{R} ^{{n+m}}\to \mathbb{R}$ $0$ $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $0$

f(x,y)=\alpha _{1}x_{1}^{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}^{2}\,+\,f_{0}(y_ {1},\ldots ,y_{m}),\quad \alpha _{i}=\pm 1,

kde je nějaká hladká funkce. Toto tvrzení nám umožňuje redukovat studium singularity (kritického bodu) funkce proměnných na studium singularity funkce menšího počtu proměnných (jmenovitě z počtu proměnných rovnajícího se coranku Hessianu). původní funkce) [1] . $f_0$ $n+m$

Důkaz tohoto tvrzení lze provést indukcí na n pomocí Hadamardova lemmatu nebo jiným způsobem [1] .

O důkazech

Obvykle se dokazuje přímou konstrukcí difeomorfismu [3] . Konceptuálnější důkaz využívá Moserův trik [4] .

Poznámky

↑ 1 2 3 4 Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularity diferencovatelných zobrazení.
↑ A. M. Samoilenko, O ekvivalenci hladké funkce k Taylorovu polynomu v okolí kritického bodu konečného typu, Funkts. analýza a její aplikace, 2:4 (1968), str. 63-69.
↑ Milnor, J. Morseova teorie / Per. z angličtiny. V. I. Arnold . - 1965. - 184 s.
↑ Palais, Richard S. "Morseovo lemma pro Banachovy prostory." Bulletin of the American Mathematical Society 75.5 (1969): 968-971.

Literatura

Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularity diferencovatelných zobrazení. — M. : MTsNMO , 2009. — 672 s. - ISBN 978-5-94057-456-9 .

Darinsky B. M., Sapronov Yu .

Zorich V. A. Matematická analýza.

Milnor, J. Morse Theory / Per. z angličtiny. V. I. Arnold . - 1965. - 184 s.

Milnor, J. Morse Theory / Per. z angličtiny. V. I. Arnold . - 1965. - 184 s.

Hirsch M. Diferenciální topologie / Per. z angličtiny. D.B. Fuks .. - M . : Mir, 1979. - 279 s.

Takens F. Poznámka k dostatečnosti proudnic. — Inventiones Mathematicae, sv. 13, č. 3, 1971, str. 225-231.

Pavlova N.G., Remizov A.O. Úvod do teorie singularity . - M. : MIPT, 2022. - 181 s. - ISBN 978-5-7417-0794-4 .