Morseovo lemma je výrok popisující chování hladké nebo analytické reálné funkce v okolí nedegenerovaného kritického bodu . Jeden z jednoduchých, ale nejdůležitějších výsledků Morseovy teorie ; pojmenovaný po tvůrci teorie a který stanovil tento výsledek v roce 1925, americký matematik Marston Morse .
Dovolit být funkcí třídy , kde , mající bod jako jeho nedegenerovaný kritický bod, to znamená, že v tomto bodě diferenciál zmizí a Hessian je nenulový. Pak v nějakém sousedství bodu existuje systém -hladkých lokálních souřadnic (mapa) s počátkem v bodě , takže pro všechny rovnost [1]
.V tomto případě se číslo určené signaturou kvadratické části zárodku v bodě nazývá index kritického bodu dané funkce - speciální případ obecného konceptu Morseova indexu .
V okolí kritického bodu konečné násobnosti existuje souřadnicový systém, ve kterém má hladká funkce tvar polynomu stupně ( můžeme vzít Taylorův polynom funkce v bodě v původních souřadnicích). V případě nedegenerovaného kritického bodu se multiplicita a Toujronův teorém změní v Morseovo lemma [1] [2] .
Nechť je hladká funkce, která má jako kritický bod počátek souřadnic , nedegenerovaná v proměnných . Potom v sousedství bodu jsou hladké souřadnice, ve kterých
kde je nějaká hladká funkce. Toto tvrzení nám umožňuje redukovat studium singularity (kritického bodu) funkce proměnných na studium singularity funkce menšího počtu proměnných (jmenovitě z počtu proměnných rovnajícího se coranku Hessianu). původní funkce) [1] .
Důkaz tohoto tvrzení lze provést indukcí na n pomocí Hadamardova lemmatu nebo jiným způsobem [1] .
Obvykle se dokazuje přímou konstrukcí difeomorfismu [3] . Konceptuálnější důkaz využívá Moserův trik [4] .