Lemma na šestém kruhu

Lema šestého kruhu [1] tvrdí následující.

Ve čtyřúhelníku vepsaném do (první) kružnice , přes čtyři páry vrcholů a , a , a , a nakreslete jednu kružnici (další čtyři kruhy) takovým způsobem, že body jejich párového průsečíku leží uvnitř prvního kruhu. Pak si lehněte na jeden (šestý) kruh $abeceda$ $A$ $B$ $B$ $C$ $C$ $D$ $D$ $A$ ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1))$ ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1))$ .

Obrázek vpravo dole bude odpovídat poslednímu tvrzení věty, pokud je označen . $Z=A_{1},Y=B_{1},X=C_{1},W=D_{1}$

Poznámka

Výše uvedená věta se také nazývá Miquelova věta o šesti kružnicích bez odkazu na konkrétní čtyřúhelník (viz obrázek níže). Nechť 4 body, "A", "B", "C" a "D", a 4 kružnice protínají ve dvojicích v těchto bodech, stejně jako ve 4 dalších bodech W , X , Y a Z . Pak poslední 4 body leží na společném kruhu. Tato věta je známá jako "věta o šesti kruzích"' [2] (viz obrázek).

Důsledky

$abeceda$ je vepsaný čtyřúhelník. je základna kolmice pokleslá z vrcholu na úhlopříčku ; body jsou definovány podobně . Potom body leží na stejné kružnici. Důkaz vyplývá z lemmatu šestého kruhu. $A_{1}$ $A$ $BD$ ${\displaystyle B_{1},C_{1},D_{1))$ ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1))$
$abeceda$ je vepsaný čtyřúhelník. je střed vepsané kružnice trojúhelníku BCD; body jsou definovány podobně . Pak je to obdélník. Důkaz vyplývá z lemmatu šestého kruhu. Tento důsledek je někdy označován jako japonský teorém (viz obr.). $A_{1}$ ${\displaystyle B_{1},C_{1},D_{1))$ $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$

Nechť kružnici vepsanou do libovolného trojúhelníku tečnou ke straně v bodě , a kružnici tečnou ke straně v bodě . Potom body leží na stejné kružnici. Důkaz vyplývá z lemmatu šestého kruhu. $ABC$ $AC$ $X$ $AC$ $Y$ $A_{1},Y,C_{1},X$
V trojúhelníku , základy kolmiček klesly na sečnu úhlu od vrcholů a, příslušně; - výška, - střed strany . Pak body a leží na stejném kruhu. Navíc střed kružnice procházející body leží na devítibodové kružnici trojúhelníku ABC. Důkaz vyplývá z lemmatu šestého kruhu. $ABC$ $A_{1},C_{1}$ $B$ $A$ $C$ $BB_{1}$ $D_{1}$ $AC$ ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1))$ $D_{1}$ ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1))$

Historie

Tato věta se někdy nazývá věta o čtyřech kruzích a je připisována Jakobu Steinerovi, ačkoli jediný známý publikovaný důkaz podal Miquel [3] .

Wells tuto větu označuje jako „Miquelův teorém“ [4]

Možné variace a zobecnění

Je zajímavé, že další zobecnění této věty na Lemma na sedmém kruhu je nemožné. Naznačuje to následující protipříklad ve formě obrázku vpravo, převzatý z Miquelovy bodové části (viz odstavec " Miquelova věta pro pětiúhelník (pro pěticípou hvězdu) "). Naznačuje to následující zřejmé prohlášení:

„Pokud 5 kruhů (na obrázku jsou černé) má 5 bodů svého párového průsečíku M, N, P, R, Q , ležících na jednom (modrém) kruhu (celkem 6 kruhů), pak z toho obecně případě vůbec ne z toho vyplývá, že na stejné kružnici (na 7. kružnici) bude ležet i dalších 5 (výše neuvedených) bodů jejich párového průsečíku A, B, C, D, E ).» Na obrázku je to zcela zřejmé, protože pětiúhelník ABCDE zjevně není vepsán do kruhu (7. v řadě).

Viz také

Poznámky

↑ Kolem problému Archiméda. Lemma 4 Archivováno 29. dubna 2016 na Wayback Machine , obr. 10, str. 5
↑ Středoškolský učitel na francouzském venkově (Nantua) podle Ostermann & Wanner 2012, Ostermann & Wanner 2012, str. 94
↑ Středoškolský učitel na francouzském venkově (Nantua) podle Ostermann & Wanner 2012, Ostermann & Wanner 2012, str. 352
↑ Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Zajímavé geometrie, New York: Penguin Books. str. 151–152

Literatura

Coxeter, HSM & Greitzer, S. L. (1967), Geometry Revisited , sv. 19, New Mathematical Library , Washington, DC : Mathematical Association of America , ISBN 978-0-88385-619-2
Forder, H. G. (1960), Geometrie , Londýn: Hutchinson
Ostermann, Alexander & Wanner, Gerhard (2012), Geometrie svou historií , Springer, ISBN 978-3-642-29162-3
Pedoe, Dan (1988), Geometrie/Komplexní kurz , Dover, ISBN 0-486-65812-0
Smart, James R. (1997), Moderní geometrie (5. vydání), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3
Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Zajímavé geometrie , New York: Penguin Books, ISBN 0-14-011813-6