Maximálně kompaktní podskupina

Maximální kompaktní podgrupa K topologické grupy G je kompaktní prostor s indukovanou topologií , který je maximální mezi všemi podgrupami. Maximální kompaktní podgrupy hrají důležitou roli v klasifikaci Lieových grup a zejména v klasifikaci semijednoduchých Lieových grup. Maximální kompaktní podgrupy Lieových grup nejsou v obecném případě jedinečné, ale jsou jedinečné až do konjugace — jsou v podstatě konjugované .

Příklad

Jako příklad použijeme podgrupu O(2), ortogonální grupu uvnitř obecné lineární grupy GL(2, R ). Příbuzným příkladem je kruhová grupa SO(2) uvnitř grupy SL(2, R ). Je zřejmé, že SO(2) uvnitř grupy SL(2, R ) je kompaktní a ne maximální. Nejedinečnost těchto příkladů je patrná ze skutečnosti, že jakýkoli skalární součin má asociovanou ortogonální skupinu a podstatná jedinečnost odpovídá podstatné jedinečnosti skalárního součinu.

Definice

Maximální kompaktní podskupina je maximální podskupina mezi kompaktními podskupinami - maximální (kompaktní podskupina) - a nikoli (možné alternativní čtení) maximální podskupina , která se ukazuje jako kompaktní, která by se měla nazývat kompaktní (maximální podskupina) , ale ne pouze maximální grupa (a ve skutečnosti maximální vlastní podgrupa zpravidla není kompaktní).

Existence a jedinečnost

Cartan-Iwasawa-Maltsevův teorém říká, že každá spojená Lieova grupa (a navíc jakákoliv lokálně kompaktní grupa) má maximálně kompaktní podgrupy a že jsou všechny navzájem konjugované. Pro polojednoduchou Lieovu grupu je jedinečnost důsledkem Cartanovy věty o pevném bodu, která říká, že pokud kompaktní grupa jedná izometrií na kompletní, jednoduše připojenou , negativně zakřivenou Riemannovu varietu , pak má pevný bod.

Maximální kompaktní podgrupy spojených Lieových grup obvykle nejsou jedinečné, ale jsou jedinečné až do konjugace, což znamená, že pokud jsou dány dvě maximální kompaktní podgrupy K a L , existuje prvek takový, že [1] , tedy maximální kompaktní podgrupa je v podstatě unikátní a výzkumníci často hovoří o maximálně kompaktních podskupinách jako o jediné podskupině. $g\in G$ $gKg^{-1}=L$

Pro příklad plné lineární grupy GL( n , R ) to odpovídá skutečnosti, že jakýkoli vnitřní součin na definuje (kompaktní) ortogonální grupu (její izometrickou grupu), a že má ortonormální bázi - změna báze definuje prvek sousednosti, který definuje sousedství klasické izometrické grupy ortogonální grupy O( n , R ). $\mathbb {R} ^{n}$

Důkaz

Pro skutečnou semiprostou grupu lze Cartanův důkaz o existenci a jedinečnosti maximálně kompaktní podgrupy nalézt v Borelově práci [2] a Helgasonově knize [3] . Cartier [4] a Hoschild [5] diskutovali o rozšíření důkazu na spojené Lieovy grupy a lokálně propojené kompaktní grupy.

Pro polojednoduché grupy je existence důsledkem existence kompaktní reálné formy nekompaktní polojednoduché Lieovy grupy a odpovídajícího Cartanova rozkladu . Důkaz jedinečnosti se opírá o Cartanovu větu o pevném bodě a skutečnost, že odpovídající Riemannův symetrický prostor má negativní zakřivení . Mostov [6] ukázal, že derivace exponenciálního zobrazení v libovolném bodě splňuje podmínku . Z toho vyplývá, že jde o Hadamardův prostor , tedy úplný metrický prostor , který vyhovuje oslabené formě identity rovnoběžníku v euklidovském prostoru. Jedinečnost pak lze odvodit z Bruhat-Titsovy věty o pevném bodě . Navíc jakákoliv ohraničená uzavřená množina v Hadamardově prostoru je obsažena v jedinečné nejmenší uzavřené kouli. Zejména kompaktní skupina působící izometrií musí udržovat středy opsaných kružnic každé ze svých drah fixní. $G/K$ $G/K$ $|\mathrm {dexp} X|\geqslant |X|$ $G/K$

Důkaz jedinečnosti pro polojednoduché skupiny

Mostov [6] redukoval obecný problém pro semiprosté grupy na případ GL( n , R ). Odpovídající symetrický prostor je prostorem kladných symetrických matic. Přímý důkaz jedinečnosti na základě elementárních vlastností tohoto prostoru podává kniha Hilgerta a Neeba [7] .

Nechť je skutečná polojednoduchá Lieova algebra s Cartanovou involucí . Potom podgrupa pevných bodů involuce je maximálně kompaktní podgrupa K a dochází ke spektrálnímu rozkladu matice $\mathfrak{g}$ $\sigma$ $\sigma$

\displaystyle {{\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}

kde , Lieova algebra podgrupy K , je +1 vlastní prostor. Cartanova expanze dává ${\mathfrak {k))$

\displaystyle {G=K\cdot \exp {\mathfrak {p}}=K\cdot P=P\cdot K}

Jestliže B je Killing forma , daná , pak $\mathfrak{g}$ $B(X,Y)=\mathrm {Tr(ad~X)(ad~Y)}$

{\displaystyle \displaystyle {(X,Y)_{\sigma }=-B(X,\sigma (Y))))

je skutečný skalární součin na . Pod přidruženou reprezentací Lieovy grupy je K podgrupou grupy G , která zachovává skalární součin. $\mathfrak{g}$

Jestliže B je další kompaktní podgrupa G , pak K je podgrupa G , která zachovává tento vnitřní součin.

Jestliže H je další kompaktní podskupina G , pak střední hodnota vnitřního součinu oproti H s ohledem na Haarovu míru dává invariant vnitřního součinu oproti H . Operátory Ad p pro p z P jsou kladné symetrické operátory. Tento nový bodový produkt lze napsat jako

{\displaystyle (S\cdot X,Y)_{\sigma ))

kde S je kladný symetrický operátor na , takový, že pro h od H (s transpozicí vypočítanou pomocí tečkového součinu). Navíc pro x z G $\mathfrak{g}$ $\mathrm {Ad} (h)^{t}S\mathrm {Ad} ~h=S$

\displaystyle {\mathrm {Ad} \,\sigma (x)=(\mathrm {Ad} \,(x)^{-1})^{t))

Takže za h od H

{\displaystyle \displaystyle {S\circ \mathrm {Ad} (\sigma (h))=\mathrm {Ad} (h)\circ S))

Pro X od definujeme $\mathfrak{p}$

{\displaystyle \displaystyle {f(e^{X})=\mathrm {Tr} \,\mathrm {Ad} (e^{X})S))

Jestliže je ortonormální báze vlastních vektorů pro S s , pak $e_{i}$ ${\displaystyle Se_{i}=\lambda _{i}e_{i))$

\displaystyle {f(e^{X})=\sum \lambda _{i}(\mathrm {Ad} (e^{X})e_{i},e_{i})_{\sigma }\geqslant (\min \lambda _{i})\cdot \mathrm {Tr} \,e^{\mathrm {ad} \,X}}

takže f je přísně kladné a má tendenci k . Ve skutečnosti je tato norma ekvivalentní operátoru normy na symetrických operátorech a jakékoli nenulové vlastní číslo se objeví spolu se zápornou hodnotou, protože jde o operátor se šikmým adjointem na kompaktním reálném tvaru . Takže f má globální minimum, řekněme na Y . Toto minimum je jedinečné, protože pokud Z je další minimum, $\infty$ $|X|$ $\infty$ $\mathrm {ad} ~X$ $i~\mathrm {ad} ~X$ ${\mathfrak {k}}\oplus i{\mathfrak {p}}$

\displaystyle {e^{Z}=e^{Y/2}e^{X}e^{Y/2))

kde X v je určeno Cartanovou expanzí $\mathfrak{p}$

\displaystyle {e^{Z/2}e^{-Y/2}=k\cdot e^{X/2))

Jestliže je ortonormální báze vlastních vektorů s odpovídajícími reálnými vlastními čísly , pak $f_{i}$ $\mathrm {ad} ~X$ $\mu _{i}$

\displaystyle {g(t)=f(e^{Y/2}e^{tX}e^{Y/2})=\sum e^{\mu _{i}t}\|Reklama (e^{Y/2})f_{i}\|_{\sigma }^{2))

Protože pravá strana je kladná kombinace mocnin, je reálná funkce g přísně konvexní , pokud X ≠ 0, takže má jedinečné minimum. Na druhé straně má funkce lokální minimum při t = 0 at = 1, protože X = 0 a p = exp Y je jediné globální minimum. Konstrukce pro h z H , tak pro h z H . Proto, . To znamená, že v případě je pevné pro a proto leží v K . $f(x)=f(\sigma (h)xh^{-1})$ ${\displaystyle p=\sigma (h)ph^{-1))$ ${\displaystyle \sigma (h)=php^{-1))$ ${\displaystyle g=\mathrm {exp} Y/2,gHg^{-1))$ $\sigma$

Aplikace

Teorie reprezentace

Maximální kompaktní podgrupy hrají hlavní roli v teorii reprezentace, když G není kompaktní. V tomto případě je maximální kompaktní podgrupou K kompaktní Lieova grupa (protože uzavřenou podgrupou Lieovy grupy je Lieova grupa), pro kterou je teorie jednodušší.

Operace spojené s teorií reprezentace G a K jsou omezení reprezentací z G na K a indukovaná reprezentace z K na G , a to je celkem pochopitelné. Mezi tyto teorie patří teorie zonálních sférických funkcí .

Topologie

Algebraická topologie Lieových grup se přenáší i na maximální kompaktní podgrupu K . Abychom byli přesní, spojená Lieova grupa je topologickým součinem (ačkoli ne grupovým součinem) maximální kompaktní podgrupy K a euklidovského prostoru . Potom, konkrétně, K je deformační retract grupy G a je s ní homotopicky ekvivalentní , a proto mají stejné homotopické grupy . Navíc inkluze a stažení deformace jsou homotopické ekvivalence . ${\displaystyle G=K\times \mathbb {R} ^{d))$ $K\hookrightarrow G$ $G\twoheadrightarrow K$

Pro obecnou lineární grupu je tento rozklad rozkladem QR a stažením deformace je Gramův–Schmidtův proces . Pro obecné semiprosté grupy je rozklad Iwasawovým rozkladem ve formě G =KAN , kde K se vyskytuje společně se smršťovací podgrupou AN .

Viz také

Hyperspeciální podskupina
Complex Lie group

Poznámky

↑ Všimněte si , že prvek g není jedinečný -- vhodný je jakýkoli prvek ve stejné třídě množin gK .
↑ Borel, 1950 .
↑ Helgason, 1978 .
↑ Cartier, 1955 .
↑ Hochschild, 1965 .
↑ 12 Mostow , 1955 .
↑ Hilgert, Neeb, 2012 .

Literatura

Armand Borel. Sous-groupes kompakty maximaux des groupes de Lie (Exposé č. 33) . - 1950. - T. 1. - (Séminaire Bourbaki). (nedostupný odkaz)
Cartier P. Structure topologique des groupes de Lie généraux (Exposé č. 22) . - 1955. - Vol. 1. - (Séminaire "Sophus Lie"). (nedostupný odkaz)
Dieudonné J. Kompaktní Lieovy grupy a polojednoduché Lieovy grupy, Hlava XXI. - Academic Press, 1977. - V. 5. - (Pojednání o analýze). — ISBN 012215505X .
Sigurdur Helgason. Diferenciální geometrie, Lieovy grupy a symetrické prostory. - Academic Press, 1978. - ISBN 978-0-12-338460-7 .
Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb. Struktura a geometrie ležových grup. - Springer, 2012. - (Springer monografie z matematiky). — ISBN 0387847944 .
Hochschild G. Struktura Lieových grup. — Holden-Day, 1965.
Mostow GD Některé nové věty o rozkladu pro polojednoduché grupy . - 1955. - T. 14. - S. 31-54. — (Mem. Amer. Math. Soc.).
Onishchik AL, Vinberg EB Lieovy grupy a Lieovy algebry III: Struktura Lieových grup a Lieových algeber. - Springer, 1994. - (Encyklopedie matematických věd). — ISBN 9783540546832 .
Maltsev A.I. O teorii Lieových grup ve velkém // Mat. Sbírka. - 1945. - T. 16 . — S. 163–189 .
Iwasawa K. O některých typech topologických skupin // Ann. matematiky.. - 1949. - V. 50 . — S. 507–558 . - doi : 10.2307/1969548 .