Toeplitzova matrice

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 27. prosince 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Toeplitzova matice ( diagonálně konstantní matice ) je matice, ve které všechny úhlopříčky rovnoběžné s hlavní mají stejné prvky:

A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{-1}&a_{-2}&\ldots &\ldots &a_{-n+1}\\a_{1}&a_{0}&a_{ -1}&\dtečky &&\vtečky \\a_{2}&a_{1}&\dtečky &\dtečky &\dtečky &\vtečky \\\vtečky &\dtečky &\dtečky &\dtečky &a_{-1}&a_ {-2}\\\vdots &&\ddots &a_{1}&a_{0}&a_{-1}\\a_{n-1}&\ldots &\ldots &a_{2}&a_{1}&a_{0} \end{bmatrix}}

to znamená, že platí následující vztah:

{\displaystyle a_{i,\,j}=a_{i-1,\,j-1))

Pojmenován po německém matematikovi Otto Toeplitzovi .

Příklad

Matrix 4×5:

M={\begin{pmatrix}4&5&6&7&8\\3&4&5&6&7\\2&3&4&5&6\\1&2&3&4&5\\\end{pmatrix))

Vlastnosti

V operacích lze přidat dvě Toeplitzovy matice . Toeplitzova matice může být násobena vektorem v operacích a násobení Toeplitzovy matice může být provedeno v operacích. $Na)$ $O(n\log n)$ $O(n^{2})$

Toeplitzovu soustavu lineárních rovnic , tedy soustavu tvaru , kde je Toeplitzova matice, lze řešit Levinsonovou metodou v čase [1] [2] . $sekera=b$ $A$ $O(n^{2})$

Toeplitz matice jsou také příbuzné Fourier sérii : operátor násobení polynomial sines nebo cosines , promítnutý na konečný-rozměrný prostor , moci být reprezentován takovou maticí.

Viz také

Poznámky

↑ Krišna, H.; Wang, Y. The Split Levinson Algorithm is Weakly Stable (anglicky) // SIAM Journal on Numerical Analysis : journal. - 1993. - Sv. 30 , č. 5 . - S. 1498-1508 . - doi : 10.1137/0730078 .
↑ Blahut R. E. // Rychlé algoritmy pro digitální zpracování signálu / Per. z angličtiny. I. I. Grushko. — M .: Mir, 1989. — 448 s. — ISBN 5-09-001009-2 .

Odkazy

Matice Tyrtyshnikov E. E. Toeplitz, některé jejich analogy a aplikace / Výkonný redaktor Corr. SSSR VV Voevodin. - M. : VINITI, 1989. - 184 s. - 150 výtisků. Archivováno26. srpna 2017 naWayback Machine

Robert M. Grey Toeplitz a oběžné matice: Recenze . - Kalifornie, USA: nowpublishers.com, 2000. - 98 s.

Babenko, K. I. O Toeplitzových a Hankelových maticích // Pokroky v matematických vědách. - 1986. - T. 41, č. 1 (247). - S. 171-178.

Iokhvidov I.S. Gankel a Toeplitz matice a formy: Algebraich. teorie . — M .: Nauka, 1974. — 263 s.

Pustylnikov L. D. Toeplitz a Hankelovy matice a jejich aplikace // Uspekhi matematicheskikh nauk. - 1984. - T. 39, č. 4 (238). - S. 53-84.