Cirkulační látka

Cirkulující nebo obíhající matrice je matricí formuláře

C={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n}\\a_{n}&a_{1}&\cdots &a_{n-1}\\\vdots & \vdots &\ddots &\vdots \\a_{2}&a_{3}&\cdots &a_{1}\\\end{pmatrix}},

kde všechna jsou komplexní čísla [1] . Oběhovou látku lze také stručně popsat jako [2] . Cirkulant je tedy matice, ve které je libovolný další řádek (sloupec), počínaje prvním (od prvního), získán cyklickou abecední permutací prvků předchozího řádku (sloupce). Jakákoli cirkulační matice je podle definice Toeplitz . $a_{i}$ $C_{ij}=a_{j-i+1{\pmod {n))},\ i,j=1,\ldots ,n$

Také determinant takové matice se často nazývá cirkulant [3] .

Vlastnosti

Dovolit a být obíhající matice. Pak platí následující vlastnosti [4] . $A$ $B$

$AB=BA$ a - oběhové čerpadlo. $AB$
Matice (prvkově komplexní konjugát ), ( transponovaný ) a ( hermitovský konjugát ) jsou oběžné. $\overline {A}$ $A^{\mathrm {T} }$ $A^{*}$
Matrice obíhá při . $A^{k}$ $k\geqslant 0$
Pokud je nedegenerovaný , pak je cirkulující. $A$ $A^{{-1}}$
Matrice je persymetrická a normální . $A$

Determinant

Označme primitivní kořen jednoty jako . Pak platí následující vzorec pro determinant oběhové látky : $\zeta$ $n$ $C$

\operatorname {det} C=\prod \limits _{k=0}^{n-1}(a_{1}+a_{2}\zeta ^{k}+\ldots +a_{n- 1}\zeta ^{k(n-2)}+a_{n}\zeta ^{k(n-1)})

Důkaz

Označme a . Vynásobte oběžník napravo Vandermondovým determinantem formuláře : ${\displaystyle f(x)=a_{1}+a_{2}x+\ldots +a_{n}x^{n-1))$ ${\displaystyle \zeta _{k}=\zeta ^{k))$ ${\displaystyle |\zeta _{j}^{i-1}|_{n\times n))$

{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n}\\a_{n}&a_{1}&\cdots &a_{n-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{2}&a_{3}&\cdots &a_{1}\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}1&1&\cdots &1\\\zeta _{1}& \zeta _{2}&\cdots &\zeta _{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\zeta _{1}^{n-1}&\zeta _{2} ^{n-1}&\cdots &\zeta _{n}^{n-1}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}f(\zeta _{1})&f(\zeta _{ 2})&\cdots &f(\zeta _{n})\\\zeta _{1}f(\zeta _{1})&\zeta _{2}f(\zeta _{2})&\ cdots &\zeta _{n}f(\zeta _{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\zeta _{1}^{n-1}f(\zeta _{ 1})&\zeta _{2}^{n-1}f(\zeta _{2})&\cdots &\zeta _{n}^{n-1}f(\zeta _{n}) \end{vmatrix}}=

$=f(\zeta _{1})f(\zeta _{2})\ldots f(\zeta _{n})\cdot {\begin{vmatrix}1&1&\cdots &1\\\zeta _ {1}&\zeta _{2}&\cdots &\zeta _{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\zeta _{1}^{n-1}&\zeta _{2}^{n-1}&\cdots &\zeta _{n}^{n-1}\end{vmatrix}}$

Dále zrušíme Vandermondův determinant jako nenulový. ■

Jinými slovy, vlastní hodnoty cirkulantu se rovnají diskrétní Fourierově transformaci vektoru [3] . $\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)$

Příklady

Pro determinant oběhového plynu je: $n=2$

\operatorname {det} {\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}\\a_{2}&a_{1}\end{pmatrix}}=(a_{1}-a_{2}) (a_{1}+a_{2}).

pro : $n=3,\omega ^{3}=1,\omega \neq 1$

\operatorname {det} {\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\a_{3}&a_{1}&a_{2}\\a_{2}&a_{3} &a_{1}\end{pmatrix}}=(a_{1}+a_{2}+a_{3})(a_{1}+a_{2}\omega +a_{3}\omega ^{2} )(a_{1}+a_{2}\omega ^{2}+a_{3}\omega ).

Související definice

Anticirkulační látka

Anticirkulační látka je matrice podobné formy [5] :

{\begin{pmatrix}a_{1}&-a_{n}&-a_{n-1}&\cdots &-a_{2}\\a_{2}&a_{1}&-a_{ n}&\cdots &-a_{3}\\a_{3}&a_{2}&a_{1}&\cdots &-a_{4}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n}&a_{n-1}&a_{2}&\cdots &a_{1}\\\end{pmatrix}}.

Kosocirkulant

Zobrazit Matrix

\left({\begin{array}{cccc}a_{1}&\varphi a_{n}&\varphi a_{n-1}&\cdots &\varphi a_{2}\\a_{2 }&a_{1}&\varphi a_{n}&\cdots &\varphi a_{3}\\a_{3}&a_{2}&a_{1}&\cdots &\varphi a_{4}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\cdots &a_{1}\end{array}}\right)

se nazývá -skew-circulant of order at [6] . $\varphi$ $n$ $\varphi \neq 0$

Je zřejmé, že oběhová látka je šikmá oběhová látka a anticirkulační látka je šikmá oběhová látka. $(jeden)$ $(-jeden)$

Viz také

Hankelova matrice

Odkazy

Weisstein, Eric W. Circulant Matrix (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .

Poznámky

↑ Aldrovandi, 2001 , str. 83.
↑ Davis, 1979 , str. 66.
↑ 1 2 Aldrovandi, 2001 , str. 84.
↑ Bernstein, DS Matrix Mathematics: Teorie, fakta a vzorce . - 2. vyd. - Princeton University Press , 2009. - S. 356. - ISBN 978-0-691-13287-7 .
↑ Bini, Pan, 1994 , str. 132.
↑ Voevodin, Tyrtyšnikov, 1987 , s. 47.

Literatura

Maltsev, A. I. Základy lineární algebry. —M.:Nauka, 1975. — 400 s. (Ruština)
Davis, PJ Circulant Matrices . - John Wiley & Sons , 1979. - ISBN 0-471-05771-1 .
Aldrovandi, R. Speciální matice matematické fyziky :stochastická, cirkulační a Bellova matice . - World Scientific , 2001. - ISBN 9810247087 .
Bini, D. , Pan, VY Polynomiální a maticové výpočty (anglicky) . - Birkhäuser Boston, 1994. - ISBN 0-8176-3786-9 .
Voevodin, V. V. , Tyrtyshnikov, E. E. Výpočetní procesy s Toeplitzovými maticemi. —M.:Nauka, 1987. — 320 s. (Ruština)