Rotační matice

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 7. listopadu 2021; kontroly vyžadují 5 úprav .

Rotační matice (nebo směrová kosinusová matice ) je ortogonální matice [1] , která se používá k provedení vlastní ortogonální transformace v euklidovském prostoru . Při násobení libovolného vektoru rotační maticí je zachována délka vektoru. Determinant rotační matice je roven jedné.

Obvykle se má za to, že na rozdíl od přechodové matice se při rotaci souřadnicového systému (základny) při vynásobení rotační maticí sloupcového vektoru souřadnice vektoru transformují v souladu s rotací samotného vektoru (a nikoli rotace souřadnicových os , to znamená, že v tomto případě jsou souřadnice natočeného vektoru získány ve stejném pevném souřadnicovém systému). Rozdíl mezi oběma maticemi je však pouze ve znaménku úhlu natočení a jednu lze získat od druhé nahrazením úhlu natočení opačným; oba jsou vzájemně inverzní a lze je od sebe získat transpozicí.

Rotační matice ve 2D prostoru

Ve 2D prostoru lze rotaci popsat jedním úhlem s následující lineární transformační maticí v kartézských souřadnicích : $\;\theta$

M(\theta )={\begin{pmatrix}\cos {\theta }&\mp \sin {\theta }\\\pm \sin {\theta }&\cos {\theta }\end{pmatrix))

nebo

M(\theta )=\exp \left({\theta }\cdot {\begin{bmatrix}0&\mp 1\\\pm 1&0\end{bmatrix}}\right)

Rotace se provádí vynásobením rotační matice sloupcovým vektorem popisujícím otočený bod:

{\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\mp \sin \theta \\\pm \sin \theta & \cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}.

Souřadnice ( x ′, y ′) jako výsledek rotace bodu ( x, y ) jsou:

x'=x\cos \theta \mp y\sin \theta ,

y'=\pm x\sin \theta +y\cos \theta .

Konkrétní znaménka ve vzorcích závisí na tom, zda je souřadnicový systém pravotočivý nebo levotočivý a zda je rotace ve směru nebo proti směru hodinových ručiček. Horní znaménko je pro obvyklou konvenci pravotočivého souřadného systému a kladné rotace proti směru hodinových ručiček (stejné znaménko platí pro levotočivý souřadnicový systém při zvolení kladné rotace ve směru hodinových ručiček; ve zbývajících dvou kombinacích spodní znaménko).

Rotační matice ve 3D prostoru

Jakoukoli rotaci v trojrozměrném prostoru lze znázornit jako složení rotací kolem tří ortogonálních os (například kolem os kartézských souřadnic). Toto složení odpovídá matici rovné součinu odpovídajících tří rotačních matic.

Rotační matice kolem osy kartézského systému souřadnic o úhel v trojrozměrném prostoru s pevným systémem souřadnic jsou: $\alpha$

Rotace kolem osy : $X$

M_{x}(\alpha )={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &-\sin \alpha \\0&\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix)) .

Rotace kolem osy : $y$

M_{y}(\alpha )={\begin{pmatrix}\cos \alpha &0&\sin \alpha \\0&1&0\\-\sin \alpha &0&\cos \alpha \end{pmatrix)).

Rotace kolem osy : $z$

M_{z}(\alpha )={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix)) .

Rotační matice podél os , , :

X

y

z

M_{x}(\alpha )*M_{y}(\beta )*M_{z}(\gamma )={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &-\sin \alpha \\0&\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \beta &0&\sin \beta \\0&1&0\\-\sin \beta &0&\cos \beta \end {pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \gamma &-\sin \gamma &0\\\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ cos \beta \cos \gamma &-\sin \gamma \cos \beta &\sin \beta \\\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma +\sin \gamma \cos \alpha &-\sin \ alpha \sin \beta \sin \gamma +\cos \alpha \cos \gamma &-\sin \alpha \cos \beta \\\sin \alpha \sin \gamma -\sin \beta \cos \alpha \cos \ gamma &\sin \alpha \cos \gamma +\sin \beta \sin \gamma \cos \alpha &\cos \alpha \cos \beta \end{pmatrix}}.

V tomto případě kladné úhly odpovídají rotaci vektoru proti směru hodinových ručiček v pravém souřadném systému a ve směru hodinových ručiček v levém souřadném systému, pokud se díváte proti směru příslušné osy [2] . Například, když se otáčí o úhel kolem osy , osa jde do : . Podobně a . Správný souřadnicový systém souvisí s výběrem správného základu (viz pravidlo gimlet ). $\alpha =90^{\circ }$ $z$ $X$ $y$ ${\displaystyle M_{z}(90^{\circ })\cdot \mathbf {e} _{x}=\mathbf {e} _{y))$ ${\displaystyle M_{y}(90^{\circ })\cdot \mathbf {e} _{z}=\mathbf {e} _{x))$ ${\displaystyle M_{x}(90^{\circ })\cdot \mathbf {e} _{y}=\mathbf {e} _{z))$

Rotační matice v -rozměrném prostoru $n$

Rotační matice konečnorozměrného prostoru libovolné vyšší dimenze lze zapsat úplně stejným způsobem.

Jen je třeba mít na paměti, že pro rozměry prostoru, které se nerovnají třem, nelze určit jedinou přímku kolmou ke dvěma daným přímkám, a proto nelze mluvit o rotaci kolem nějaké osy, lze hovořit o rotaci v nějaké letadlo [3] . Všechny body se při otáčení v prostoru libovolné dimenze, počínaje 2, vždy pohybují rovnoběžně s nějakou (dvourozměrnou) rovinou.

Takže podobně jako v trojrozměrném případě (s výše uvedenou výhradou) můžeme zapsat matici rotace v libovolné souřadnicové rovině pro jakýkoli prostorový rozměr.

Například:

M_{1,2}(\alpha )={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0&0&0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1 konec{pmatrix}}

je rotační matice v 5-rozměrném prostoru v rovině , $x_{1}x_{2}$

M_{2,4}(\alpha )={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\0&\cos \alpha &0&-\sin \alpha &0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\0&\sin \alpha &0 &\cos \alpha 0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\end{pmatrix}}

je rotační matice v 7-rozměrném prostoru v rovině . $x_{2}x_{4}$

S tímto přístupem je ještě snazší umístit znaménka před siny, protože jsou určena pořadím, ve kterém jsou uvedeny osy roviny rotace: která z nich je pojmenována jako první, v tom řádku před sinus mínus.
Je snadné vidět, že rotační matice v rovině se shoduje (což je přirozené) s rotační maticí v rovině atd., až do změny úhlu natočení na opačný. $x_{1}x_{2}$ $x_{2}x_{1}$
Takové matice s permutovanými indexy tedy evidentně nejsou nezávislé a pro získání libovolné rotace stačí každou rovinu zahrnout do složení pouze jednou, tedy řekněme jen , a ne a . $M_{1,2}(\alpha _{1,2})$ $M_{1,2}(\alpha _{1,2})$ $M_{2,1}(\alpha _{2,1})$

Změna osy otáčení

Nechť je rotační matice kolem osy s jednotkovým vektorem o úhel , je rotační matice kolem osy s jednotkovým vektorem o stejný úhel a $\;M$ $\;n$ $\;\alpha$ $\;M'$ $\;n'$

\;n'=M''\cdot \;n,

kde je matice rotace, která mění jednotkový vektor osy rotace . Pak $\;M''$ $\;n$

M'=M''\cdot M\cdot M''^{\;T},

kde je transponovaná matice . $\;M''^{{\;T))$ $\;M''$

Permutabilita obratů

Jestliže je matice rotace kolem osy s jednotkovým vektorem podle úhlu , je matice rotace kolem osy s jednotkovým vektorem podle úhlu , pak je matice popisující rotaci vyplývající ze dvou po sobě jdoucích rotací ( a ), protože $\;M_{1}$ $\;n$ $\;\alpha$ $\;M_{2}$ $\;m$ $\;\beta$ $M_{2}\cdot M_{1}$ $\;M_{1}$ $\;M_{2}$

(M_{2}\cdot M_{1})\cdot r=M_{2}\cdot (M_{1}\cdot r).

V tomto případě lze pořadí zatáček změnit úpravou zatáčky : $\;M_{1}$

M_{2}\cdot M_{1}=M'_{1}\cdot M_{2},

kde matice je matice otočení o úhel kolem osy c s jednotkovým vektorem otočeným otočením : $\;M'_{1}$ $\;\alpha$ $\;n',$ $\;M_{2}$

n'=M_{2}\cdot n,\qquad M'_{1}=M_{2}\cdot M_{1}\cdot M_{2}^{T},

protože , protože rotační matice je ortogonální matice ( je matice identity ). Všimněte si, že neexistuje žádná komutativnost rotací v obvyklém smyslu, tj. $M_{2}^{T}\cdot M_{2}=E$ $\;E$

M_{2}\cdot M_{1}\neq M_{1}\cdot M_{2}.

Vyjádření rotační matice pomocí Eulerových úhlů

Postupné rotace kolem os o precesní úhel ( ), nutační úhel ( ) a úhel správné rotace ( ) vedou k následujícímu výrazu pro matici rotace: $\;Z,X',Z''$ $\alpha$ $\beta$ $\gamma$

M(\alpha ,\beta ,\gamma )={\begin{pmatrix}\cos \alpha \cos \gamma -\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma &-\cos \alpha \sin \gamma -\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma &\sin \alpha \sin \beta \\\sin \alpha \cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma &-\ sin \alpha \sin \gamma +\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma &-\cos \alpha \sin \beta \\\sin \beta \sin \gamma &\sin \beta \cos \gamma & \cos \beta \end{pmatrix}}.

Osa - Osa X otočená o první otáčku (o ), - Osa Z otočená o první a druhou otáčku (o a ). V důsledku permutability rotací odpovídá redukovaná matice rotacím o úhly , , kolem os Z, X, Z : $\;X'$ $\;\alpha$ $\;Z''$ $\;\alpha$ $\;\beta$ $\;\gama$ $\;\beta$ $\;\alpha$

M(\alpha ,\beta ,\gamma )=M_{Z}(\alpha )\cdot M_{X}(\beta )\cdot M_{Z}(\gamma )

V případě, že jsou rotace specifikovány v jiné sekvenci, je rotační matice nalezena vynásobením matic pro rotaci kolem odpovídajících kartézských souřadnicových os, například:

1) Rotace kolem os: $X,Y,X$
2) Podle toho: $X,Y,Z$
3) $X,Z,X$
čtyři) $X,Z,Y$
5) $Y,X,Y$
6) $Y,X,Z$
7) $Y,Z,X$
osm) $Y,Z,Y$
9) $Z,X,Y$
deset) $Z,X,Z$
jedenáct) $Z,Y,X$
12) $Z,Y,Z$

Rotační matice kolem libovolné osy

Nechť je osa rotace dána jednotkovým vektorem a úhlem rotace . ${\hat {\mathbf {v} }}=(x,y,z)$ $\theta$

Potom je rotační matice v kartézských souřadnicích:

M({\hat {\mathbf {v} )),\theta )={\begin{pmatrix}\cos \theta +(1-\cos \theta )x^{2}&(1-\cos \theta )xy-(\sin \theta )z&(1-\cos \theta )xz+(\sin \theta )y\\(1-\cos \theta )yx+(\sin \theta )z&\cos \theta +( 1-\cos \theta )y^{2}&(1-\cos \theta )yz-(\sin \theta )x\\(1-\cos \theta )zx-(\sin \theta )y&( 1-\cos \theta )zy+(\sin \theta )x&\cos \theta +(1-\cos \theta )z^{2}\end{pmatrix}}

Vyjádření rotační matice pomocí čtveřice

Pokud je zadán čtveřice , pak odpovídající rotační matice je: $q=(š,x,y,z)$

Q={\begin{bmatrix}1-2y^{2}-2z^{2}&2xy-2zw&2xz+2yw\\2xy+2zw&1-2x^{2}-2z^{2}&2yz-2xw\\2xz- 2yw&2yz+2xw&1-2x^{2}-2y^{2}\end{bmatrix}}.

Vlastnosti rotační matice

Pokud je matice určující rotaci kolem osy o úhel , pak: $\mathbf {M}$ ${\vec {n}}$ $\varphi$

$|\mathbf {M} {\vec {v}}|=|{\vec {v}}|$ $\forall {\vec {v}}$
$\mathbf {M} {\vec {n}}={\vec {n}}$
$(\mathbf {M} {\vec {v)),{\vec {v)))=(1-\cos \varphi )({\vec {n))\cdot {\vec {v)))^ {2}+({\vec {v)))^{2}\cos \varphi$
$\operatorname {Tr} (\mathbf {M} )=n-2+2\cos \varphi$ ( stopa rotační matice), kde n je rozměr prostoru (velikost matice).
$\det \mathbf {M} =1$ (matice má jednotkový determinant ).
Matice zpětné rotace se získá obvyklou transpozicí matice dopředné rotace, tzn. . $\mathbf {M} ^{\mathrm {-1} }=\mathbf {M} ^{\mathrm {T} }$
Pro trojrozměrný prostor (matice ): pokud jsou řádky (nebo sloupce matice) považovány za souřadnice vektorů , platí následující vztahy: $3\krát 3$ ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$
- $|{\vec {a}}|=|{\vec {b}}|=|{\vec {c}}|=1$
- ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0,{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}=0,{\vec {c}}\cdot {\vec {a}} = 0$
- ${\vec {a}}\times {\vec {b}}={\vec {c}},{\vec {b}}\times {\vec {c}}={\vec {a}}, {\vec {c}}\times {\vec {a}}={\vec {b}}$
První dvě vlastnosti [4] , které znamenají podmínku ortogonality matice , platí také pro libovolný prostorový rozměr (velikost matice).

Poznámky

↑ Ortogonalita matice znamená, že její inverzní matice je rovna transponované matici : A −1 = A T .
↑ Tedy pokud se podíváte na rovinu rotace ze strany poloprostoru, kde jsou hodnoty souřadnic osy, kolem které se rotace provádí, kladné.
↑ O rotaci v rovině můžeme mluvit i pro trojrozměrný prostor, např. rotace kolem osy je rotace v rovině ; pro trojrozměrný prostor jsou však možné obě reprezentace, a proto se obvykle, pokud je otázka redukována na případ pouze této dimenze, volí reprezentace (a zápis) rotace kolem osy jako intuitivně poněkud jednodušší. $z$ $xy$
↑ Pro všech n řádků (sloupců).