Gauss-Seidelova metoda řešení soustavy lineárních rovnic

Gauss-Seidelova metoda (Seidelova metoda, Libmanův proces, metoda postupné substituce) je klasickou iterační metodou pro řešení soustavy lineárních rovnic .

Pojmenováno po Seidelovi a Gaussovi .

Prohlášení o problému

Vezměte systém: , kde $A\vec{x}=\vec{b}$ $A=\left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nn} \ end{array} \right),\quad \vec{b}=\left( \begin{array}{c} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{array} \right)$

Nebo $\left\{ \begin{array}{rcl} a_{11}x_1 + \ldots + a_{1n}x_n& = & b_{1} \\ & &\\ a_{n1}x_1 + \ldots + a_{nn }x_n & = & b_{n} \end{array} \vpravo.$

A ukážeme si, jak to lze řešit pomocí Gauss-Seidelovy metody.

Metoda

Abychom objasnili podstatu metody, přepíšeme problém do formuláře

\left\{ \begin{array}{lcr} a_{11}x_1 & = &-a_{12}x_2 - a_{13}x_3 -\ldots - a_{1n}x_n + b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 & = & -a_{23}x_3 - \ldots - a_{2n}x_n + b_2\\ \ldots & &\\ a_{(n-1)1}x_1 + a_{(n- 1)2}x_2 +\ldots+ a_{(n-1)(n-1)}x_{n-1} & = & -a_{(n-1)n}x_n + b_{n-1}\\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 +\ldots+ a_{n(n-1)}x_{n-1}+ a_{nn}x_n & = & b_n \end{array} \vpravo.

Zde jsme v té rovnici převedli na pravou stranu všechny členy obsahující , pro . Tento záznam může být reprezentován jako $j$ $x_{i}$ $i>j$

(\mathrm{L} + \mathrm{D} )\vec{x} = -\mathrm{U} \, \vec{x} + \vec{b},

kde v akceptované notaci znamená matici, jejíž hlavní diagonála obsahuje odpovídající prvky matice a všechny ostatní nuly; zatímco matice a obsahují horní a dolní trojúhelníkové části , na jejichž hlavní diagonále jsou nuly. $\mathrm{D}$ $A$ $\mathrm{U}$ $\mathrm{L}$ $A$

Iterační proces v Gauss-Seidelově metodě je postaven podle vzorce

(\mathrm {L} +\mathrm {D} ){\vec {x}}^{(k+1)}=-\mathrm {U} {\vec {x}}^{(k) }+{\vec {b)],\quad k=0,1,2,\ldots

po zvolení vhodné počáteční aproximace . $\vec{x}^{(0)}$

Na Gauss-Seidelovu metodu lze pohlížet jako na modifikaci Jacobiho metody . Hlavní myšlenkou úpravy je, že nové hodnoty jsou zde použity ihned po jejich přijetí, zatímco v Jacobiho metodě se nepoužívají až do další iterace: $\vec{x}^{(i)}$

\left\{\begin{array}{cccccccccc} {x_{1}}^{(k+1)} &=& c_{12}{x_2^{(k))) &+& c_{13}x_3 ^{(k)}&+& {\ldots}&+& c_{1n}{x_n}^{(k)} &+& d_1 \\ {x_{2}}^{(k+1)} & =& c_{21}{x_1^{(k+1)}} &+& c_{23}x_3^{(k)}&+& {\ldots}&+& c_{2n}{x_n}^{ (k)} &+& d_2 \\ \ldots & & & & & & & & & & & \\ {x_{n}}^{(k+1)} &=& c_{n1}{x_1^{( k+1)}} &+& c_{n2}{x_2^{(k+1)}}&+& {\ldots}&+& c_{n(n-1)}{x_{n-1} }^{(k+1)} &+& d_n \end{array}\right.,

kde

c_{ij}={\begin{cases}-{\frac {a_{ij}}{a_{ii}}},&j\neq i,\\0,&j=i.\end{cases} }\quad d_{i}={\frac {b_{i}}{a_{ii}}},\quad i=1,\ldots ,n.

I -tá složka -té aproximace se tedy vypočítá podle vzorce $(k+1)$

x_{i}^{(k+1)}=\součet _{j=1}^{i-1}c_{ij}x_{j}^{(k+1)}+\součet _ {j=i}^{n}c_{ij}x_{j}^{(k)}+d_{i},\quad i=1,\ldots ,n.

Například, když : $n=3$

x_{1}^{{(k+1)}}=\součet _{{j=1}}^{{1-1}}c_{{1j}}x_{{j}}^{{(k) +1)}}+\součet _{{j=1}}^{{3}}c_{{1j}}x_{{j}}^{{(k)}}+d_{1}

, to je

x_{1}^{(k+1)}=c_{11}x_{1}^{(k)}+c_{12}x_{2}^{(k)}+c_{13} x_{3}^{(k)}+d_{1},

x_{2}^{{(k+1)}}=\sum _{{j=1}}^{{2-1}}c_{{2j}}x_{{j}}^{{(k) +1)}}+\součet _{{j=2}}^{{3}}c_{{2j}}x_{{j}}^{{(k)}}+d_{2}

, to je

x_{2}^{(k+1)}=c_{21}x_{1}^{(k+1)}+c_{22}x_{2}^{(k)}+c_{ 23}x_{3}^{(k)}+d_{2},

x_{3}^{{(k+1)}}=\sum _{{j=1}}^{{3-1}}c_{{3j}}x_{{j}}^{{(k) +1)}}+\součet _{{j=3}}^{{3}}c_{{3j}}x_{{j}}^{{(k)}}+d_{3}

, to je

x_{3}^{(k+1)}=c_{31}x_{1}^{(k+1)}+c_{32}x_{2}^{(k+1)}+ c_{33}x_{3}^{(k)}+d_{3}.

Podmínka konvergence

Uveďme postačující podmínku pro konvergenci metody.

Věta .
Nechť, kdeje matice inverzní k. Pak pro jakoukoli volbu počáteční aproximace:

\|\mathrm {A} _{2}\|<1

\mathrm {A} _{2}=-(\mathrm {L} +\mathrm {D} )^{-1}\,\mathrm {U} ,\quad (\mathrm {L} +\ mathrm {D} )^{-1}

(\mathrm {L} +\mathrm {D} )

\vec{x}^{(0)}

metoda Gauss-Seidel konverguje;
rychlost konvergence metody je rovna rychlosti konvergence geometrické progrese se jmenovatelem ; $q=\|\mathrm {A} _{2}\|$
správný odhad chyby: . $\|{\vec {x}}^{(k)}-{\vec {x}}\|=q^{k}\,\|{\vec {x}}^{(0) }-{\vec {x}}\|$

Podmínka ukončení

Podmínka pro ukončení Seidelova iteračního procesu při dosažení přesnosti ve zjednodušené podobě má podobu: $\varepsilon$

\paralelní x^{(k+1)}-x^{(k)}\paralelní \le \varepsilon

Přesnější podmínka pro ukončení iteračního procesu má tvar

\parallel Ax^{(k)}-b\paralelní \le \varepsilon

a vyžaduje více výpočtů. Dobré pro řídké matrice .

Příklad implementace v C++

#include <iostream> #include <cmath> pomocí jmenného prostoru std ; // Koncová podmínka bool converge ( double xk [ 10 ], double xkp [ 10 ], int n , double eps ) { dvojitá norma = 0 ; for ( int i = 0 ; i < n ; i ++ ) norma += ( xk [ i ] - xkp [ i ]) * ( xk [ i ] - xkp [ i ]); return ( sqrt ( norm ) < eps ); } double okr ( double x , double eps ) { int i = 0 ; double neweps = eps ; zatímco ( novinky < 1 ) { i ++ ; neweps *= 10 ; } int okr = pow ( double ( 10 ), i ); x = int ( x * okr + 0,5 ) / double ( okr ); návrat x ; } boolova úhlopříčka ( double a [ 10 ][ 10 ], int n ) { int i , j , k = 1 ; dvojnásobný součet ; for ( i = 0 ; i < n ; i ++ ) { součet = 0 ; for ( j = 0 ; j < n ; j ++ ) součet += abs ( a [ i ][ j ]); součet -= abs ( a [ i ][ i ]); if ( součet > a [ i ][ i ]) { k = 0 _ cout << a [ i ][ i ] << " < " << soucet << endl ; } jiný { cout << a [ i ][ i ] << " > " << soucet << endl ; } } návrat ( k == 1 ); } int main () { setlocale ( LC_ALL , "" ); double eps , a [ 10 ][ 10 ], b [ 10 ], x [ 10 ], p [ 10 ]; int n , i , j , m = 0 ; metoda int _ cout << "Zadejte velikost čtvercové matice: " ; cin >> n ; cout << "Zadejte přesnost výpočtu: " ; cin >> eps ; cout << "Vyplňte matici A: " << endl << endl ; pro ( i = 0 ; i < n ; i ++ ) pro ( j = 0 ; j < n ; j ++ ) { cout << "A[" << i << "][" << j << "] = " ; cin >> a [ i ][ j ]; } cout << endl << endl ; cout << "Vaše matice A je: " << endl << endl ; pro ( i = 0 ; i < n ; i ++ ) { pro ( j = 0 ; j < n ; j ++ ) cout << a [ i ][ j ] << " " ; cout << endl ; } cout << endl ; cout << "Vyplňte sloupec volných členů: " << endl << endl ; pro ( i = 0 ; i < n ; i ++ ) { cout << "B[" << i + 1 << "] = " ; cin >> b [ i ]; } cout << endl << endl ; /* Postup metody, kde: a[n][n] - Matice koeficientů x[n], p[n] - Aktuální a předchozí řešení b[n] - Sloupec pravých částí Všechna výše uvedená pole jsou skutečná a musí být definováno v hlavním programu, také do pole x[n] byste měli vložit počáteční aproximace sloupce řešení (např. všechny nuly) */ for ( int i = 0 ; i < n ; i ++ ) x [ i ] = 1 ; cout << "Diagonální dominance: " << endl ; if ( úhlopříčka ( a , n )) { dělat { for ( int i = 0 ; i < n ; i ++ ) p [ i ] = x [ i ]; for ( int i = 0 ; i < n ; i ++ ) { double var = 0 ; for ( int j = 0 ; j < n ; j ++ ) if ( j != i ) var += ( a [ i ][ j ] * x [ j ]); x [ i ] = ( b [ i ] - var ) / a [ i ][ i ]; } m ++ ; } while ( ! konvergovat ( x , p , n , eps )); cout << "Rozhodnutí systému:" << endl << endl ; for ( i = 0 ; i < n ; i ++ ) cout << "x" << i << " = " << okr ( x [ i ], eps ) << "" << endl ; cout << "Iterace: " << m << endl ; } jinak { cout << "Bez diagonální dominance" << endl ; } systém ( "pauza" ); návrat 0 ; }

Příklad implementace v Pythonu

import numpy jako np def seidel ( A , b , eps ): n = len ( A ) x = np . nuly ( n ) # nulový vektor converge = False , zatímco nekonverguje : x_new = np . kopie ( x ) pro i v rozsahu ( n ): s1 = součet ( A [ i ][ j ] * x_new [ j ] pro j v rozsahu ( i )) s2 = součet ( A [ i ][ j ] * x [ j ] pro j v rozsahu ( i + 1 , n )) x_new [ i ] = ( b [ i ] - s1 - s2 ) / A [ i ][ i ] konvergovat = np . sqrt ( součet (( x_new [ i ] - x [ i ]) ** 2 pro i v rozsahu ( n ))) <= eps x = x_new vrátit x

Viz také

Poznámky

Odkazy

Metody řešení SLAE
Přímé metody	Maticová metoda Gaussova metoda Gauss-Jordanova metoda Cramerova metoda LU rozklad Choleský rozklad Metoda zametání
Iterační metody	Jacobiho metoda Gauss-Seidelova metoda Iterační metoda Relaxační metoda Metoda konjugovaného gradientu Metoda bikonjugovaného gradientu Metoda stabilizovaného bikonjugátového gradientu
Všeobecné	inverzní matice Projekční metody pro řešení SLAE Předběžná úprava