Hausdorffova metrika
Hausdorffova metrika je přirozená metrika definovaná na množině všech neprázdných kompaktních podmnožin metrického prostoru . Hausdorffova metrika tedy změní množinu všech neprázdných kompaktních podmnožin metrického prostoru na metrický prostor.
Zdá se, že první zmínka o této metrice je obsažena v Hausdorffově knize „The Theory of Sets“, prvním vydání z roku 1914. O dva roky později je stejná metrika popsána v Blaschke 's Circle and Ball, možná nezávisle, protože neobsahuje odkaz na Hausdorffovu knihu.
Definice
Dovolit a být dvě neprázdné kompaktní podmnožiny metrického prostoru . Potom Hausdorffova vzdálenost, , mezi a je minimální číslo takové, že uzavřené -neighborhood obsahuje a také uzavřené -neighborhood obsahuje .













Poznámky
- Jinými slovy, if označuje vzdálenost mezi body a potom





- Ekvivalentní definice:

kde označuje funkci vzdálenosti k množině .

Vlastnosti
Označme množinu všech neprázdných kompaktních podmnožin metrického prostoru Hausdorffovou metrikou:


- Topologie prostoru je kompletně definována topologií .


- (Blashkeův teorém o výběru) je kompaktní právě tehdy, když .


kompletní tehdy a jen tehdy, když je kompletní.
Variace a zobecnění
- Někdy je Hausdorffova metrika uvažována na množině všech uzavřených podmnožin metrického prostoru, v takovém případě může být vzdálenost mezi některými podmnožinami nekonečná.
- Někdy je Hausdorffova metrika uvažována na množině všech podmnožin metrického prostoru. V tomto případě se jedná pouze o pseudo -metriku a není to metrika, protože "vzdálenost" mezi různými podmnožinami může být nulová.
- V euklidovské geometrii je Hausdorffova metrika často aplikována až do shody . Dovolit a být dvě kompaktní podmnožiny euklidovského prostoru, pak je určen alespoň všemi pohyby euklidovského prostoru . Přísně vzato, tato metrika je v prostoru tříd kongruence kompaktních podmnožin euklidovského prostoru.





- Gromov-Hausdorffova metrika je podobná Hausdorffově metrice až do kongruence . Promění množinu (izometrických tříd) kompaktních metrických prostorů na metrický prostor.
Poznámky
Literatura