Mikrokanonický soubor

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 28. července 2018; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Mikrokanonický soubor je statistický soubor makroskopického izolovaného systému s konstantními hodnotami objemu V, počtu částic N a energie E. Pojem mikrokanonický soubor je idealizací, protože ve skutečnosti neexistují žádné zcela izolované systémy. V mikrokanonické Gibbsově rozdělení jsou všechny mikroskopické stavy odpovídající dané energii stejně pravděpodobné podle ergodické hypotézy . Autorem dokázaný Gibbsův teorém uvádí, že malou část mikrokanonického souboru lze považovat za kanonický soubor .

Klasická statistika

Pokud Hamiltonovu funkci označíme H (q, p) , tedy energii systému závislou na souřadnicích q a hybnosti p každé částice, pak bude distribuční funkce částic nad nimi rovnoměrná a nenulová pouze na fázi povrch H (q, p) = E:

$\rho (q,p)=g^{-1}\delta (H(q,p)-E)$ ,

kde δ je delta funkce a konstanta g je hustota stavů (tj. fázový objem), určená podmínkou normalizace distribuční funkce na jednotu při integraci přes všechny různé mikrostavy:

${\frac {1}{N!}}\int \rho (q,p)d\Gamma =1$

dГ je prvek fázového objemu , což je v klasickém případě , a v kvantovém případě v trojrozměrném prostoru , kde h je Planckova konstanta ( ). To znamená, že prvek fázového objemu dГ, vyjádřený pomocí Diracovy konstanty, $d\Gamma =dpdq$ ${\displaystyle d\Gamma =dpdq/h^{3N))$ $h=2\pi \hbar$ ${\displaystyle d\Gamma ={\frac {dpdq}{(2\pi \hbar )^{3N))))$

Energetický interval

Pokud má systém energii E s přesností ΔE, pak stavy s energiemi ve vrstvě (E, E + ΔE) se také považují za ekvipravděpodobné: $\rho (q,p)={\begin{cases}{\frac {1}{g\Delta E)),&E\leq H(q,p)\leq E+\Delta E\\0, &|H(p,q)-E|>\Delta E\end{cases}}$

Zde je normalizačním faktorem statistická váha (tedy počet stavů ve vrstvě, její fázový objem), určená danými parametry makrostavu. $g\Delta E={\frac {d\Gamma }{dE))\Delta E=\Delta \Gamma (E,N,V)$

Kvantová statistika

V kvantových systémech je ΔE způsobena vztahem nejistoty v důsledku doby pozorování. V tomto případě lze uvažovat soubor zcela izolovaných systémů, když ΔE/E → 0. Rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti kvantových stavů s energiemi ve vrstvě (E, E + ΔE) má formu podobnou té, která je popsána výše: $w(E_{k})$ $E_k$ $w(E_{k})={\begin{cases}{\frac {1}{\Delta \Gamma )),&E\leq E_{k}\leq E+\Delta E\\0,&| E_{k}-E|>\Delta E\end{cases}}$

V tomto případě je normalizace diskrétní: $\sum _{k}w(E_{k})=1$

Termodynamika

Termodynamické potenciály a s nimi celá termodynamika mikrokanonického souboru je postavena z entropie přímo související se statistickou váhou pomocí Boltzmannovy rovnice : , kde k je Boltzmannova konstanta . $S(E,N,V)=k~ln\Delta \Gamma (E,N,V)$

Mikrokanonické rozdělení je zde pro praktické použití nepohodlné, protože pro výpočet statistické váhy je nutné vypočítat všechny mikrostavy systému.

Numerická simulace

Numerická Monte Carlo simulace mikrokanonického souboru je také zatížena potížemi - koneckonců energie je přísně fixní, takže její náhodná změna by neměla být zapomenuta, ale dána a přijímána na každém kroku prostřednictvím virtuálního subsystému ("démon", analog). Maxwellova démona ), jehož energie není, musí přeskočit nulový práh (podmínka přijetí konfigurace v kroku Monte Carlo).