Minimální polynom v teorii pole je konstrukce definovaná pro algebraický prvek : polynom , který je násobkem všech polynomů, jejichž kořenem je daný prvek.
Minimální polynomy se používají při studiu rozšíření pole . Dané rozšíření a element algebraický přes , pak minimální podpole obsahovat a je izomorfní k prstenu kvocientu , kde je prsten polynomials s koeficienty v , a je hlavní ideál generovaný minimálním polynomem . Při určování konjugovaných prvků se také používá koncept minimálního polynomu .
Dovolit být rozšíření pole , být prvek algebraický nad . Uvažujme množinu polynomů takové, že . Tato množina tvoří ideál v polynomickém kruhu . Opravdu, jestliže , pak , a pro jakýkoli polynom . Tento ideál je nenulový, protože podle předpokladu je prvek algebraický; protože je doménou hlavních ideálů , je tento ideál hlavní, to znamená, že je generován nějakým polynomem . Takový polynom je definován až do násobení invertibilním prvkem pole; uložením dodatečného požadavku, aby se vedoucí koeficient rovnal jedné, to znamená, aby to byl redukovaný polynom , získáme jedinečné zobrazení na libovolný algebraický prvek z daného rozšíření polynomu, které se nazývá minimální polynom . Z definice vyplývá, že jakýkoli minimální polynom je v .
Konjugované prvky algebraického prvku nad polem jsou všechny (ostatní) kořeny minimálního polynomu .
Dovolit je normální rozšíření s automorphism group , . Potom pro any - je konjugováno s , protože jakýkoli automorfismus přebírá kořeny daného polynomu zpět ke kořenům. Naopak jakýkoli prvek konjugovaný k má následující tvar: to znamená, že skupina působí tranzitivně na množinu konjugovaných prvků. Díky neredukovatelnosti minimálního polynomu je K izomorfní . Proto je konjugační vztah symetrický .
Kroneckerův teorém říká, že nějaké algebraické celé číslo takové, že jeho modul a modul všech jeho konjugátů v oboru komplexních čísel je roven 1, je kořenem jednoty .