Minimální polynom algebraického prvku

Minimální polynom v teorii pole je konstrukce definovaná pro algebraický prvek : polynom , který je násobkem všech polynomů, jejichž kořenem je daný prvek.

Minimální polynomy se používají při studiu rozšíření pole . Dané rozšíření a element algebraický přes , pak minimální podpole obsahovat a je izomorfní k prstenu kvocientu , kde je prsten polynomials s koeficienty v , a je hlavní ideál generovaný minimálním polynomem . Při určování konjugovaných prvků se také používá koncept minimálního polynomu . $E\supsetneq K$ $\alpha \v E$ $K$ $E$ $K$ $\alpha$ $K[x]/(f(x))$ $K[x]$ $K$ $(f(x))$ $\alpha$

Definice

Dovolit být rozšíření pole , být prvek algebraický nad . Uvažujme množinu polynomů takové, že . Tato množina tvoří ideál v polynomickém kruhu . Opravdu, jestliže , pak , a pro jakýkoli polynom . Tento ideál je nenulový, protože podle předpokladu je prvek algebraický; protože je doménou hlavních ideálů , je tento ideál hlavní, to znamená, že je generován nějakým polynomem . Takový polynom je definován až do násobení invertibilním prvkem pole; uložením dodatečného požadavku, aby se vedoucí koeficient rovnal jedné, to znamená, aby to byl redukovaný polynom , získáme jedinečné zobrazení na libovolný algebraický prvek z daného rozšíření polynomu, které se nazývá minimální polynom . Z definice vyplývá, že jakýkoli minimální polynom je v . $E\supsetneq K$ $\alpha \v E$ $K$ $f(x)\in K[x]$ $f(\alfa)=0$ $K[x]$ $f(\alfa)=0, g(\alfa)=0$ $(f+g)(\alfa)=0$ $h(x)\in K[x]$ $(f\cdot h)(\alpha)=0$ $\alpha$ $K[x]$ $f(x)$ $f(x)$ $f(x)$ $\alpha$ $\alpha$ $K[x]$

Příklady

Nechte _ Pak minimální polynom čísla je . Pokud vezmeme , pak se minimální polynom rovná . $K=\mathbb Q, E=\mathbb R, \alpha=\sqrt 2$ $\alpha$ $x^{2}-2$ $K={\mathbb R}$ $x-\sqrt 2$
$K=\mathbb Q, E=\mathbb R, \alpha=\sqrt 2+\sqrt 3$ . Minimální polynom je . $\alpha$ $x^4-10x^2+1$
$K=\mathbb {Q} ,E=\mathbb {R} ,\alpha ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {2))))+{\sqrt[{3} ]{1-{\sqrt {2}}}}.$ Minimální polynom je $\alpha$ $x^{3}+3x-2.$
Analogické pro polynom je $\alpha ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {2))))-{\sqrt[{3}]{1-{\sqrt {2))))$ $(x^{3}-3x-2{\sqrt {2)))(x^{3}-3x+2{\sqrt {2)))=x^{6}-6x^{4 }+9x^{2}-8.$

Konjugované prvky

Konjugované prvky algebraického prvku nad polem jsou všechny (ostatní) kořeny minimálního polynomu . $\alpha$ $K$ $\alpha$

Vlastnosti

Dovolit je normální rozšíření s automorphism group , . Potom pro any - je konjugováno s , protože jakýkoli automorfismus přebírá kořeny daného polynomu zpět ke kořenům. Naopak jakýkoli prvek konjugovaný k má následující tvar: to znamená, že skupina působí tranzitivně na množinu konjugovaných prvků. Díky neredukovatelnosti minimálního polynomu je K izomorfní . Proto je konjugační vztah symetrický . $E\supsetneq K$ $G$ $\alpha \v E$ $g\in G$ $g(\alfa)$ $\alpha$ $K[x]$ $\beta$ $\alpha$ $G$ $K(\alpha)$ $K(\beta)$

Kroneckerův teorém říká, že nějaké algebraické celé číslo takové, že jeho modul a modul všech jeho konjugátů v oboru komplexních čísel je roven 1, je kořenem jednoty .

Poznámky

Minimální polynom (anglicky) na webu PlanetMath .
Weisstein, Eric W. Conjugate Elements ve Wolfram MathWorld .
Pinter, Charles C. Kniha abstraktní algebry. Dover knihy o matematice série. Dover Publications, 2010, s. 270-273. — ISBN 978-0-486-47417-5