Model Vašíčka

Vašíčekův model je jednofaktorový rovnovážný matematický model, který popisuje vývoj tzv. okamžité úrokové míry .

Popis

Model navrhl Oldřich Vasichek v roce 1977. Jednofaktorovost je způsobena tím, že v modelu je zahrnut pouze jeden zdroj nejistoty v dynamice sazeb. Tento model předpokládá, že úroková sazba se pohybuje kolem určité průměrné úrovně.

Tento model jako první zohlednil tendenci úrokových sazeb vracet se k průměru ( anglicky mean reversion ): úrokové sazby nemohou růst donekonečna, protože jejich vysoká úroveň omezí ekonomickou aktivitu a po určité hranici ji přivede na úroveň. nic; na druhou stranu jsou sazby přirozeně omezeny zdola. Sazby by se tak měly pohybovat v omezeném rozmezí.

Nevýhodou Vašíčkova modelu je, že pro koeficient driftu volatility používá normální rozdělení, které teoreticky umožňuje záporné sazby.

Matematický model

Matematicky je model zapsán jako následující stochastická diferenciální rovnice difuzního typu ( Ornsteinova-Uhlenbeckova rovnice ) [1] :

$dr_{t}=\alpha (\beta -r_{t})\Delta t+\sigma \epsilon {\sqrt {\Delta t))$ ,

kde:

$\epsilon {\sqrt {\Delta t))$ — Wienerův proces ( — náhodný výběr ze standardního normálního rozdělení v čase t : ), $\epsilon$ $\epsilon \left(t\right)\sim \mathrm {N} \left(0,1\right)$
$\beta$ - průměrnou (dlouhodobou) výši úrokové sazby,
$\alpha$ je parametr charakterizující rychlost návratu ke střední hodnotě ( ), $0\leq \alpha \leq 1$
$\sigma$ — parametr volatility. Volatilita sazby ve Vašem modelu nezávisí na aktuální hodnotě sazby.

V roce 1990 a 1991 byly představeny modely Black-Derman-Toy a Black-Karasinsky, které zavedly nestacionární volatilitu.

Řešení rovnice

Řešení Vašíčekovy rovnice má tvar:

$r_{t}=r_{0}e^{{-\alpha t}}+\beta (1-e^{{-\alpha t}})+\sigma e^{{-\alpha t}}\ int _{0}^{t}e^{{\alpha s}}dW_{s}$

Matematické očekávání a volatilita sazby se rovnají:

$E(r_{t})=r_{0}e^{{-\alpha t}}+\beta (1-e^{{-\alpha t}})=\beta +(r_{0}-\ beta )e^{{-\alpha t}}~,~~V(r_{t})={\frac {\sigma ^{2}}{2\alpha }}(1-e^{{-2 \alpha t}})$

Proto, když máme dlouhodobý průměr kurzu a volatility $t\rightarrow\infty$ $E(r)=\beta ~,~~V(r)={\frac {\sigma ^{2}}{2\alpha }}$

Výnosová křivka

Rovnice výnosové křivky (časová struktura úrokových sazeb) odpovídající Vašíčkovu modelu má tvar:

$R(t)=R_{{\infty }}+(r_{0}-R_({\infty }}){\frac {1-e^{{-\alpha t}}}{\alpha t}} +{\frac {\sigma ^{2}(1-e^{{-\alpha t)))^{2}}{4\alpha ^{3}t}}~,~~R_{{\infty }}=\lim _{{t\rightarrow \infty }}R(t)=\beta +\lambda \sigma /a-0,5\sigma ^{2}/\alpha ^{2}$

$\lambda$ - tržní riziková cena stanovená z podmínky absence arbitráže při tvorbě dluhopisů s různou dobou splatnosti.

Viz také

Difúzní model vývoje úrokových sazeb

Poznámky

↑ Meissner, Gunter. Modelování a řízení korelačních rizik : aplikovaný průvodce včetně korelačního rámce Basel III – s interaktivními modely v Excel/VBA . - Wiley, 2014. - S. 47. - ISBN 111879690X .