Autoregresivní a distribuovaný model zpoždění

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 9. ledna 2018; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Autoregresivní a distribuovaný model zpoždění (ADL-model, angl. autoregressive distribution lags ) je model časové řady , ve kterém aktuální hodnoty řady závisí jak na minulých hodnotách této řady, tak na aktuálních a minulých hodnotách jiných časových řad. Model s jednou exogenní proměnnou má tvar: $ADL(p,q)$

y_{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{p}a_{i}y_{ti}+\sum _{j=0}^{q}b_{j} x_{tj}+\varepsilon _{t}

Model je AR(p) autoregresivní model (obecně možná s exogenní proměnnou bez zpoždění) a model je distribuovaný model zpoždění . $ADL(p,0)$ $ADL(0,q)$ $DL(q)$

Model je zobecněn na případ několika exogenních proměnných . V tomto případě je možné označení modelu , kde je počet exogenních proměnných, je počet zpoždění tý proměnné zahrnuté v modelu. Obecně lze předpokládat, že všechny exogenní proměnné jsou v modelu zahrnuty se stejným počtem zpoždění a vyloučení jakéhokoli zpoždění některých proměnných znamená pouze omezení modelu. Proto se někdy používá označení , - počet exogenních proměnných, - počet zpoždění. Uvalení omezení na koeficienty tohoto modelu vede k určitým odchylkám. V tomto označení bude klasický model označen jako . $X$ $ADL(p,q_{1},q_{2},\tečky ,q_{k})$ $k$ $Qi}$ $i$ $ADL(p,q;k)$ $k$ $q$ $ADL(p,q)$ $ADL(p,q;1)$

V praxi se pro hodnocení takových modelů často používá Box-Jenkinsova metodika pro hodnocení autoregrese a speciální techniky pro zjednodušení odhadu distribuovaného zpoždění.

Zastoupení operátora

Pomocí operátoru lag lze autoregresivní model a distribuované zpoždění zapsat následovně: $L:~Lx_{t}=x_{{t-1}}$

y_{t}=a_{0}+(\sum _{i=1}^{p}a_{i}L^{i})y_{t}+(\sum _{j=0} ^{q}b_{j}L^{j})x_{t}+\varepsilon _{t}

Nebo ve zkrácené podobě:

a(L)y_{t}=a_{0}+b(L)x_{t}+\varepsilon _{t},~~a(L)=1-(\sum _{i=1 }^{p}a_{i}L^{i}),~~b(L)=(\sum _{j=0}^{q}b_{j}L^{j})

Pokud kořeny charakteristického autoregresního polynomu leží mimo jednotkovou kružnici (v komplexní rovině) , pak lze model ADL reprezentovat jako model s nekonečným distribuovaným zpožděním: $a(z)$

y_{t}={\frac {a_{0}}{a(L)))+{\frac {b(L)}{a(L)))x_{t}+\varepsilon _{ t}

Pokud do tohoto výrazu dosadíme místo operátoru zpoždění hodnotu 1, dostaneme model dlouhodobé závislosti mezi proměnnými a : $L$ $y$ $X$

y_{t}^{*}={\frac {a_{0}}{a(1)))+{\frac {b(1)}{a(1)))x_{t}^ {*}+\varepsilon _{t}={\frac {a_{0}}{1-\sum _{i=1}^{p}a_{i}}}+{\frac {\sum _{ j=0}^{q}b_{j}}{1-\součet _{i=1}^{p}a_{i}}}x_{t}^{*}+\varepsilon _{t}

Koeficient na exogenní proměnné se nazývá dlouhodobý multiplikátor . Smysluplný výklad toho je následující. Distribuované modely zpoždění (DL-modely) umožňují zohlednit zpožděný vliv faktorů (spolu se současným). Koeficienty modelu DL se nazývají multiplikátory hybnosti . Ukazují vliv časového zpoždění na endogenní proměnnou. V každém časovém okamžiku však ovlivňuje několik hodnot zpoždění faktoru, proto se z dlouhodobého hlediska koeficient vlivu faktoru (dlouhodobý multiplikátor) rovná součtu impulsních multiplikátorů. Přidání autoregresní části k modelu distribuovaného zpoždění umožňuje zohlednit kromě přímého vlivu i nepřímý, a to prostřednictvím vlivu minulých hodnot závislé proměnné na její budoucí hodnoty. Jmenovatel ve vzorci dlouhodobého multiplikátoru zohledňuje autoregresní nárůst multiplikačního efektu. $b_{j}$ $j$

Na základě přítomnosti dlouhodobého modelu může být model ADL reprezentován v mírně odlišné podobě - v reprezentaci ECM ( anglicky error correction model - error correction model):

\triangle y_{t}=\součet _{i=1}^{p-1}\alpha _{i}\triangle y_{ti}+\součet _{j=0}^{q-1 }\beta _{j}\trojúhelník x_{tj}-a(1)(y_{t-1}-{\frac {a_{0}}{a(1)))-{\frac {b(1 )}{a(1)}}x_{t-1})+\varepsilon _{t}

Výraz v závorkách odráží odchylku od dlouhodobé závislosti v předchozím časovém okamžiku. Zbytek rovnice odráží krátkodobou závislost. Z tohoto pohledu je tedy zřejmé, že krátkodobá dynamika je korigována v závislosti na míře odchylky od dlouhodobé.

Příklad

Zvažte model : $ADL(1,1)$

y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+b_{0}x_{t}+b_{1}x_{t-1}+\varepsilon _{t}

ECM reprezentace tohoto modelu je:

\triangle y_{t}=b_{0}\triangle x_{t}+(1-a_{1})(y_{t-1}-{\frac {a_{0}}{1-a_ {1}}}-{\frac {b_{0}+b_{1}}{1-a_{1}}}x_{t-1})+\varepsilon _{t}

Krátkodobá závislost je tedy vyjádřena koeficientem reakce na změnu faktoru oproti předchozímu období. Tato odezva je však upravena o odchylku od dlouhodobého vztahu mezi proměnnými. Dlouhodobý multiplikátor se v tomto případě rovná $b_{0}$ $(b_{0}+b_{1})/(1-a_{1})$

Autoregresivní a distribuovaný model zpoždění

Zastoupení operátora

Příklad

Viz také