Distribuované zpoždění

V ekonometrii je model distribuovaného zpoždění modelem časové řady , ve kterém jsou do regresní rovnice zahrnuty jak aktuální hodnoty vysvětlující proměnné, tak hodnoty této proměnné v předchozích obdobích .

Nejjednodušší příklad modelu distribuovaného zpoždění: . Obecněji, ${\displaystyle y_{t}=a_{0}+b_{0}x_{t}+b_{1}x_{t-1}+\varepsilon _{t))$

$y_{t}=a_{0}+b_{0}x_{t}+b_{1}x_{t-1}+b_{2}x_{t-2}+...+b_{ p}x_{tp}+\varepsilon _{t}$

Zde můžeme hovořit o krátkodobém dopadu vysvětlující proměnné na vysvětlovanou ( ), stejně jako o dlouhodobém ( ) Tento model je zase speciálním případem autoregresního a distribuovaného lag modelu . $b_{0}$ ${\displaystyle \sum _{i=0}^{p}b_{i))$

Příklady makroekonomických modelů, ve kterých je důležitá prodleva:

funkce spotřeby
Tvorba peněz v bankovním systému
Vztah mezi peněžní zásobou a cenovou hladinou
Prodleva mezi výdaji na výzkum a vývoj a produktivitou
"J-křivka" spojuje směnný kurz a obchodní bilanci
Model investičního akcelerátoru

Důvody pro existenci zpoždění lze rozdělit do tří skupin:

Technologický
institucionální
Psychologický

Hlavním problémem pro empirické hodnocení modelu distribuovaného zpoždění je přítomnost multikolinearity , protože v ekonomických datech sousední hodnoty stejné datové řady jsou obvykle vzájemně vysoce korelované. Navíc není vždy možné a priori určit, kolik proměnných zpoždění by mělo být zahrnuto do modelu. Existují dokonce modely s nekonečným počtem lag regresí, jejichž koeficienty donekonečna klesají (například exponenciálně ). Existuje mnoho speciálních technologií pro práci s distribuovanými zpožděními: například metoda Tinbergen a Alta je „metoda palce“ pro určení optimálního počtu proměnných zpoždění bez zavádění dalších předpokladů do modelu. Modely Koika a Almona naopak zavádějí předpoklady o koeficientech zpoždění, které umožňují zjednodušit jejich odhad.

Tinbergenův a Altův přístup

Přístup Tinbergena a Alty umožňuje nalézt rovnováhu mezi přesností modelu (počet zahrnutých lag proměnných) a kvalitou odhadu (multikolinearita). Zahrnuje sekvenční hodnocení modelů:

${\displaystyle y_{t}=a_{0}+b_{0}x_{t}+\varepsilon _{t))$
${\displaystyle y_{t}=a_{0}+b_{0}x_{t}+b_{1}x_{t-1}+\varepsilon _{t))$
$y_{t}=a_{0}+b_{0}x_{t}+b_{1}x_{t-1}+b_{2}x_{t-2}+\varepsilon _{t}$
…

Zastavení procesu se doporučuje, když některý z koeficientů pro proměnné zpoždění změní znaménko nebo se stane statisticky nevýznamným, což je důsledek výskytu multikolinearity . Navíc je nepravděpodobné, ale možné, že prostě nebude dostatek pozorování k dalšímu zvýšení počtu proměnných zpoždění.

Koikova transformace

Koikova transformace je technika, která umožňuje vyhodnotit distribuovaný model zpoždění jednoduše za předpokladu, že koeficienty proměnných zpoždění se s rostoucím zpožděním exponenciálně snižují:

${\displaystyle y_{t}=a_{0}+\sum _{i=0}^{\infty }b\lambda ^{i}x_{ti}+\varepsilon _{t))$

V tomto modelu je snadné najít střední zpoždění i střední zpoždění . ${\frac {\lambda }{1-\lambda }}$ $log_{\lambda }{0.5}$

Odečtením z této rovnice rovnice pro , vynásobené , získáme jednoduchý model: $y_{{t-1}}$ $\lambda$

${\displaystyle y_{t}=a_{0}+bx_{t}+\lambda y_{t-1}+\varepsilon _{t}-\lambda \varepsilon _{t-1))$

Tento model lze snadno odhadnout pomocí běžné metody nejmenších čtverců bez ztráty stupňů volnosti. Zde však dochází k autokorelaci náhodného členu ( c ), a co je horší, náhodný člen koreluje s vysvětlující proměnnou . Pro vyhodnocení modelu se proto doporučuje použít metodu instrumentálních proměnných nebo vyhodnotit původní model pomocí nelineární metody nejmenších čtverců. $\varepsilon _{t}-\lambda \varepsilon _{t-1}$ $\varepsilon _{t-1}-\lambda \varepsilon _{t-2}$ $y_{{t-1}}$

Koikova transformace ilustruje vztah mezi distribuovaným zpožděním a autoregresivními modely. Koikovy modely odpovídají dvěma široce používaným teoretickým přístupům k distribuovaným zpožděním: modelu adaptivních očekávání a modelu částečného/akciového přizpůsobení.

Model adaptivního očekávání

Předpokládá se, že závislá proměnná je funkcí očekávané hodnoty vysvětlující proměnné. To je typické například pro modely inflace .

${\displaystyle y_{t}=b_{0}+b_{1}x_{t}^{e}+\varepsilon _{t))$

Očekávání se tvoří jako vážený průměr předchozích očekávání a aktuální hodnoty proměnné:

${\displaystyle x_{t}^{e}=(1-\lambda )x_{t-1}^{e}+\lambda x_{t))$

Algebraické manipulace vedou ke konstrukci modelu, který se tvarově shoduje s Koikovým modelem:

$y_{t}=\lambda b_{0}+\lambda b_{1}x_{t}+(1-\lambda )y_{t-1}+(\varepsilon _{t}-(1- \lambda )\varepsilon _{t-1})$

Model částečného ladění

Model částečných úprav předpokládá dlouhodobý vztah:

${\displaystyle y_{t}^{*}=b_{0}+b_{1}x_{t}+\varepsilon _{t))$

To je typické například pro modely ekonomického růstu, kde potenciální produkt určuje poptávka. Vysvětlovaná proměnná se však nemůže okamžitě přizpůsobit změnám ve vysvětlující proměnné:

$y_{t}-y_{t-1}=\delta (y_{t}^{*}-y_{t-1})$

Zásadní rozdíl mezi modely částečného přizpůsobení a adaptivními očekáváními tedy spočívá v tom, která proměnná se nemění okamžitě: ta vysvětlující nebo vysvětlující. Jejich funkční podoba je však podobná: po transformacích dostáváme

${\displaystyle y_{t}=\delta b_{0}+\delta b_{1}x_{t}+(1-\delta )y_{t-1}+\delta \varepsilon _{t))$

Je vidět, že zde na rozdíl od modelu adaptivních očekávání neexistuje žádná korelace chyb mezi sebou a s vysvětlující proměnnou. Výběr modelu by však samozřejmě neměl být vysvětlován pohodlností jeho hodnocení, ale teoretickými předpoklady, které jsou základem zkoumaného jevu.

Lagi Almon

Při odhadu modelu můžeme předpokládat, že koeficient proměnné zpoždění se v určitém smyslu plynule mění a aproximovat jej pomocí polynomu: . Lineární transformace proměnných umožňuje odhadnout model pomocí obvyklých nejmenších čtverců a počet stupňů volnosti bude samozřejmě větší než při samostatném vyhodnocení, pokud q<p. ${\displaystyle y_{t}=a_{0}+\sum _{i=0}^{p}b_{i}x_{ti}+\varepsilon _{t))$ ${\displaystyle b_{i}=c_{0}+\sum _{j=1}^{q}c_{j}i^{j))$ $bi}$

$y_{t}=a_{0}+\sum _{i=0}^{p}(c_{0}+\sum _{j=1}^{q}c_{j}i^{ j})x_{ti}+\varepsilon _{t}=a_{0}+c_{0}(\sum _{i=1}^{p}x_{ti})+\součet _{j=1 }^{q}c_{j}(\sum _{i=1}^{p}x_{ti}i^{j})+\varepsilon _{t}=a_{0}+c_{0}z_ {0}+\součet _{j=1}^{q}c_{j}z_{j}+\varepsilon _{t}$

Uložením různých omezení (maximální stupeň, počáteční a konečné podmínky) na polynomy lze sestavit nejuspokojivější model. Tento přístup však ponechává prostor pro chyby ve specifikaci a subjektivní přizpůsobení modelu, protože neexistuje žádný statistický způsob, jak určit požadovaný tvar polynomu.