Upravený potenciál Pöschl-Teller

Modifikovaný Pöschl-Tellerův potenciál je funkcí potenciální energie elektrostatického pole, navržený fyziky Herthou Pöschl a Edwardem Tellerem [1] jako aproximace energie dvouatomové molekuly, alternativa k Morseově potenciálu.

U(x)={\frac {-U_{0}}{\mathrm {ch} ^{2}ax}}=-U_{0}\,\mathrm {sech} ^{2}ax

Potenciální hloubka studny je obvykle parametrizována jako: $U_{0}$

U_{0}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}a^{2}\lambda (\lambda -1)

Řešení Schrödingerovy rovnice s potenciální energií ve formě upravené Pöschl-Tellerovy studny je reprezentováno pomocí Legendreových funkcí .

Schrödingerova rovnice s modifikovaným Pöschl-Tellerovým potenciálem

Stacionární Schrödingerova rovnice s modifikovaným Pöschl-Tellerovým potenciálem má tvar:

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}a^{2}{\frac {\lambda (\lambda -1)}{\mathrm {ch} ^{2}ax}}\Psi (x)=E\Psi (x).

Pokud zadáte zápis , bude mít tvar: ${\displaystyle k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2))))$

\Psi ''(x)+\left(k^{2}+a^{2}{\frac {\lambda (\lambda -1)}{\mathrm {ch} ^{2}ax} }\vpravo)\Psi(x)=0.

Po změně proměnných

y=\mathrm {ch^{2}}ax

dostaneme

y(1-y)\Psi ''(y)+\left({\frac {1}{2}}-y\right)\Psi '(y)-\left({\frac {k ^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {\lambda (\lambda -1)}{4y}}\right)\Psi (y)=0.

Pokud dosadíme řešení ve formuláři

\Psi (y)=y^{\frac {\lambda }{2}}v(y)

pak je rovnice redukována do hypergeometrického tvaru

y(1-y)v''(y)+\left(\left(\lambda +{\frac {1}{2}}\right)-(\lambda -1)y\right)v '(y)-{\frac {1}{4}}\left(\lambda ^{2}+{\frac {k^{2}}{a^{2}}}\right)v=0

označující

a={\frac {1}{2}}\left(\lambda +i{\frac {k}{a}}\right)\qquad b={\frac {1}{2}}\ vlevo(\lambda -i{\frac {k}{a}}\vpravo)

obecné řešení bude mít formu

v(y)=A\;_{2}F_{1}\left(a,b;{\frac {1}{2));1-y\right)+iB(1-y) ^{\frac {1}{2}}\;_{2}F_{1}\left(a+{\frac {1}{2}},b+{\frac {1}{2}});{ \ frac {3}{2}};1-y\vpravo)

Jako základní systém řešení původní rovnice je vhodné zvolit sudé a liché řešení, tedy vlastní funkce paritního operátoru :

{\hat {P}}\Psi _{\pm }(x)=\pm \Psi _{\pm }(x),

Rovnoměrné řešení odpovídá a $A=1$ $B=0$

\Psi _{+}(x)=\mathrm {ch} ^{\lambda }ax\;_{2}F_{1}\left(a,b;{\frac {1}{2} };-\mathrm {sh} ^{2}ax\right)

Liché řešení odpovídá a $A=0$ $B=1$

\Psi _{-}(x)=\mathrm {ch} ^{\lambda }ax\;\mathrm {sh} ax\;_{2}F_{1}\left(a+{\frac { 1}{2)),b+{\frac {1}{2));{\frac {3}{2));-\mathrm {sh} ^{2}ax\right)

Pro usnadnění označujeme , pak se energie zapisuje jako $k=i\kappa$

E=-{\frac {\hbar ^{2}\kappa ^{2}}{2m}}.

Parametry hypergeometrických funkcí mají tvar

a={\frac {1}{2}}\left(\lambda -{\frac {\kappa }{a}}\right)\qquad b={\frac {1}{2}}\ vlevo(\lambda +{\frac {\kappa }{a}}\vpravo).

Pro získání normalizovaných funkcí je nutné eliminovat členy asymptotiky, které jsou v nekonečnu neomezené, u lichých funkcí má tato podmínka tvar

{\frac {\kappa }{a}}=\lambda -2-2k

pro dokonce

{\frac {\kappa }{a}}=\lambda -1-2k

Kombinací těchto podmínek získáme energetické hladiny:

E_{n}=-{\frac {\hbar ^{2}a^{2}}{2m}}(\lambda -1-n)^{2},\qquad n\leqslant \lambda - 1,\;n\in \mathbb {Z} _{+}

Koeficienty odrazu a prostupu mají tvar:

R={\frac {1}{1+p^{2}}},\qquad T={\frac {p^{2}}{1+p^{2}}},

kde je zápis

p={\frac {\mathrm {sh} {\frac {\pi k}{a))}{\sin \pi \lambda )).

Když to dostaneme a ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {Z} _{+))$ $p=\infty$

R=0,\qquad T=1.

Tak se modifikovaný Pöschl-Tellerův potenciál stane odrazným. $\lambda \in \mathbb {N}$

Substitucí lze Schrödingerovu rovnici zredukovat na rovnici $u=\mathrm {th} ax$

((1-u^{2})\Psi '(u))'+\lambda (\lambda -1)\Psi (u)+\left({\frac {k}{a}}\ vpravo)^{2}{\frac {1}{1-u^{2}}}\Psi (u)=0.

Řešení této rovnice lze znázornit pomocí Legendreových funkcí

\Psi (u)=AP_{\lambda -1}^{\mu }(u)+BQ_{\lambda -1}^{\mu }(u),

kde . $\mu=ik/a$

↑ G. Poschl, E. Teller. Bemerkungen zur Quantenmechanik des anharmonischen Oszillators (německy) // Zeitschrift für Physik. - 1933. - Bd. 83 , č. 3-4 . — S. 143–151 . - doi : 10.1007/BF01331132 .

Modely kvantové mechaniky
Jednorozměrný bez rotace	volná částice Jáma s nekonečnými stěnami Obdélníková kvantová studna delta potenciál Trojúhelníková kvantová studna Harmonický oscilátor Potenciální odrazový můstek Pöschl-Teller potenciál dobře Upravený potenciál Pöschl-Teller Částice v periodickém potenciálu Dirac potenciální hřeben Částice v prstenu
Multidimenzionální bez rotace	kruhový oscilátor Ion molekuly vodíku Symetrický top Sféricky symetrické potenciály Woods-saský potenciál Keplerov problém Potenciál Yukawa Morseův potenciál Hulthenův potenciál Molekulární potenciál Kratzera Exponenciální potenciál
Včetně spinu	atom vodíku Hydridový iont atom helia