Multinomický koeficient

Multinomické ( polynomické ) koeficienty - koeficienty v expanzi z hlediska monočlenů : $(x_{1}+x_{2}+\tečky +x_{m})^{n}$ $x_{1}^{{k_{1}}}x_{2}^{{k_{2}}}\tečky x_{m}^{{k_{m}}}$

(x_{1}+x_{2}+\tečky +x_{m})^{n}=\součet _{{k_{1}+k_{2}+\tečky +k_{m}=n}} {n \vyberte k_{1},\ k_{2},\ \tečky ,\ k_{m}}x_{1}^{{k_{1}}}x_{2}^{{k_{2}} }\dots x_{m}^{{k_{m}}}.

Explicitní vzorec

Hodnota multinomického koeficientu je definována pro všechna nezáporná celá čísla n a taková, že : $\textstyle {\binom {n}{k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m))}$ $k_{1},k_{2},\tečky ,k_{m}$ $k_{1}+k_{2}+\tečky +k_{m}=n$

{\binom {n}{k_{1},\ k_{2},\ \tečky ,\ k_{m))}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\tečky k_{m}!}}.

Binomický koeficient pro nezáporná celá čísla n , k je speciálním případem multinomického koeficientu (pro m = 2), a to $\textstyle {\binom {n}{k))$

{n \vyberte k}={n \vyberte k,\nk}.

Vlastnosti

V kombinatorickém smyslu je multinomický koeficient roven počtu uspořádaných oddílů n - prvkové množiny do m podmnožin mohutnosti . $\textstyle {\binom {n}{k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m))}$ $k_{1},k_{2},\tečky ,k_{m}$

$\součet _{{k_{1}+k_{2}+\tečky +k_{m}=n}}{n \vyberte k_{1},\ k_{2},\ \tečky ,\ k_{m} }=m^{n}.$

Stirlingův vzorec pro fixní implikuje asymptotický vzorec $(\alpha _{i})_{i=1}^{n}\in (0;1)^{n},\ \alpha _{1}+\tečky +\alpha _{k} =1$ ${\binom {n}{\alpha _{1}n,\ \dots ,\ \alpha _{k}n}}\sim \left({{\frac {1}{{\alpha _{ 1}}^{\alpha _{1}}\tečky {\alpha _{k}}^{\alpha _{k}}}}+o(1)}\vpravo)^{n}$

Viz také

Multinomické rozdělení