Nesingulární matice

Nesingulární matice (jinak , nesingulární matice ) je čtvercová matice , jejíž determinant je nenulový. Jinak se říká, že matrice je zdegenerovaná .

Pro čtvercovou matici s prvky z nějakého pole je nesingularita ekvivalentní každé z následujících podmínek:

• je invertibilní, to znamená, že existuje inverzní matice [1] ;
• řádky (sloupce) matice jsou lineárně nezávislé [2] ;
• hodnost matice se rovná jejímu rozměru [3] .

Množina všech nedegenerovaných řádových matic tvoří skupinu nazývanou kompletní lineární grupa . Roli grupové operace v ní hraje obvyklé maticové násobení. Obecná lineární grupa se obvykle označuje jako [4] . Pokud chcete explicitně určit, do kterého pole mají prvky matice patřit, napište [5] . Takže, pokud jsou prvky reálná čísla , označíme celou lineární skupinu řádu a pokud komplexní čísla , pak .

Je známo, že matice pořadí je nedegenerovaná, pokud je [6] :

• diagonální matice s nenulovými diagonálními prvky (takové matice tvoří skupinu );
• horní trojúhelníková matice s nenulovými diagonálními prvky (takové matice tvoří skupinu );
• spodní trojúhelníková matice s nenulovými diagonálními vstupy;
• jednotková matice (tj. horní trojúhelníkové matice, jejichž diagonální položky se rovnají 1; takové matice tvoří skupinu ).
• matice je výsledkem převzetí maticového exponentu z matice , tzn.

Poznámky

1. ↑ Kostrikin, 1977 , str. 126.
2. ↑ Kostrikin, 1977 , str. 127.
3. ↑ Kostrikin, 1977 , str. 129-130.
4. ↑ Rokhlin, Fuchs, 1977 , str. 271.
5. ↑ Kostrikin, Manin, 1986 , str. 34.
6. ↑ Gantmakher, 1966 , str. 28.

Literatura

• Kostrikin, A. I. Úvod do algebry. —M.:Nauka, 1977. — 496 s. (Ruština)
• Kostrikin, A. I. , Manin, Yu. I. Lineární algebra a geometrie. —M.:Nauka, 1986. — 304 s. (Ruština)
• Rokhlin, V. A. , Fuchs, D. B. Počáteční kurz topologie. Geometrické kapitoly. —M.:Nauka, 1977. (Ruština)
• Gantmakher, F. R. Teorie matice. - 2. vyd., dodatkové .. -M .:Nauka, 1966. - 576 s. (Ruština)