Cohn-Vossenova nerovnost

Cohn-Vossenova nerovnost spojuje integrál Gaussova zakřivení nekompaktního povrchu s jeho Eulerovou charakteristikou . Tato nerovnost je podobná Gauss-Bonnetově vzorci .

Pojmenováno po Stefanu Emmanuiloviči Cohn-Vossenovi .

Formulace

Pro jakýkoli povrch s plnou Riemannovou metrikou a ohraničeným integrálním zakřivením je nerovnost [1] $S$

\iint \limits _{S}K\leq 2\cdot \pi \cdot \chi (S),

kde označuje Gaussovo zakřivení a je Eulerova charakteristika . $K$ $\chi (S)$ $S$

Příklady

Pokud je kompaktní plocha bez hranic, pak se z nerovnosti stane rovnost podle Gauss-Bonnetova vzorce. $S$
Pokud je rovina, pak se nerovnost stane striktní (její levá strana je rovna nule, její pravá strana je rovna ). $S$ $2\pi$

Poznámky

↑ Robert Osserman, A Survey of Minimal Surfaces , Courier Dover Publications, 2002, strana 86.

Literatura

Cohn-Vossen, S. E. Některé otázky diferenciální geometrie obecně. - Státní nakladatelství fyzikální a matematické literatury, 1959. - 303 s.