Čtyřúhelníková nerovnost

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 16. dubna 2017; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Čtyřúhelníková nerovnost je nerovnost, která platí pro libovolné čtyři body metrického prostoru , kde platí trojúhelníková nerovnost . Jeho geometrický význam spočívá v tom, že rozdíl dvou stran čtyřúhelníku nepřesahuje součet ostatních dvou stran [1] .

Formulace

Označme vzdálenost mezi body metrického prostoru a . Pak pro libovolné čtyři body metrického prostoru platí následující nerovnost: . $\rho (x,y)$ $X$ $y$ $x,y,z,u$ $\left|\rho (x,z)-\rho (y,u)\right|\leqslant \rho (x,y)+\rho (z,u)$

Důkaz

Zvažte nerovnosti vyplývající z trojúhelníkové nerovnosti :

\rho (x,z)\leqslant \rho (x,y)+\rho (y,u)+\rho (u,z)

\rho (y,u)\leqslant \rho (y,x)+\rho (x,z)+\rho (z,u)

Odečtěte od obou částí první nerovnosti a od obou částí druhé nerovnosti . $\rho (y,u)$ $\rho (x,z)$

Druhá trojúhelníková nerovnost

Když se čtyřúhelníková nerovnost změní na druhou trojúhelníkovou nerovnost: $z=u$ $\left|\rho (x,z)-\rho (y,z)\right|\leqslant \rho (x,y)$

Čtyřúhelníkové nerovnosti v planimetrii

Čtyřúhelníková nerovnost - modul rozdílu libovolných dvou stran čtyřúhelníku nepřesahuje součet ostatních dvou stran : . $\left|ab\right|\leq c+d$
Ekvivalentně: v žádném čtyřúhelníku (včetně degenerovaného) není součet délek jeho tří stran menší než délka čtvrté strany, to znamená: ; ; ; . $a\leq b+c+d$ $b\leq +c+d$ $c\leq a+b+d$ $d\leq a+b+c$

Poznámky

↑ Shilov G. E. Matematická analýza. Speciální kurz. — M.: Fizmatlit, 1961. — S. 29

Viz také

trojúhelníková nerovnost