Implicitní povrch

Implicitní plocha je plocha v euklidovském prostoru definovaná rovnicí

F(x,y,z)=0.

Implicitní plocha je množina nul funkce tří proměnných. Termín implicitní zde znamená, že rovnice není vyřešena pro žádnou z proměnných x , y nebo z .

Graf funkce je obvykle popsán rovnicí a takové zobrazení se nazývá explicitní . Třetím důležitým způsobem popisu povrchu je parametrická reprezentace , kde souřadnice x , y a z bodů povrchu jsou reprezentovány třemi funkcemi v závislosti na obecných parametrech . Obvykle se změna zobrazení povrchu provádí jednoduše pouze v případě, že je zadáno explicitní zobrazení . Pak budou další dvě reprezentace (implicitní) a (parametrické). $z=f(x,y)$ $(x(s,t),y(s,t),z(s,t))$ $x(s,t)\,,y(s,t)\,,z(s,t)$ $s,t$ $z=f(x,y)$ $zf(x,y)=0$ $(s,t,f(s,t))$

Příklady :

letadlo $x+2y-3z+1=0.$
koule $x^{2}+y^{2}+z^{2}-4=0.$
torus $(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2} +y^{2})=0.$
Povrch Genus 2 : (viz obrázek). $2y(y^{2}-3x^{2})(1-z^{2})+(x^{2}+y^{2})^{2}-(9z^{2 }-1)(1-z^{2})=0$
Rotační plocha (viz obrázek sklo ). $x^{2}+y^{2}-(\ln(z+3.2))^{2}-0{,}02=0$

Existuje jednoduchá parametrická reprezentace pro rovinu, kouli a torus, což neplatí pro čtvrtý příklad.

Věta o implicitní funkci popisuje podmínky, za kterých lze (alespoň implicitně) řešit rovnici pro x , y nebo z . Ale v obecném případě nemusí existovat explicitní řešení. Tato věta je klíčem k výpočtu důležitých geometrických vlastností povrchu, jako jsou tečné roviny , normály povrchu , křivosti (viz níže). Tyto povrchy však mají značnou nevýhodu – jejich vizualizace je obtížná. $F(x,y,z)=0$

Jestliže je polynom v x , y az , povrch je považován za algebraický . Příklad 5 není algebraická plocha. $F(x,y,z)$

Navzdory obtížnosti vizualizace poskytují implicitní povrchy relativně jednoduché techniky pro jejich teoretické generování (např . Steinerův povrch ) a povrchy, které jsou předmětem zájmu pro praktické účely (viz níže).

Vzorce

Podle následujících konvencí je implicitní plocha reprezentována rovnicí , kde funkce splňuje nezbytné podmínky diferencovatelnosti. Níže označíme parciální derivace funkce jako . $F(x,y,z)=0$ $F$ $F$ $F_{x},F_{y},F_{z},F_{xx},\ldots$

Tečná rovina a normálový vektor

O bodu na povrchu se říká , že je pravidelný právě tehdy, když gradient funkce v bodě není roven nulovému vektoru , což znamená $(x_{0},y_{0},z_{0})$ $F$ $(x_{0},y_{0},z_{0})$ $(0,0,0)$

(F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{z} (x_{0},y_{0},z_{0}))\neq (0,0,0)

Pokud bod na ploše není pravidelný, nazývá se singulární (používá se také termín singulární bod). $(x_{0},y_{0},z_{0})$

Rovnice tečné roviny v pravidelném bodě $(x_{0},y_{0},z_{0})$

F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})(x-x_{0})+F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0 })(y-y_{0})+F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})(z-z_{0})=0,

a rovnice normálního vektoru

\mathbf {n} (x_{0},y_{0},z_{0})=(F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{y }(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}))^{T}.

Normální zakřivení

Pro usnadnění vzorců jsou argumenty ve vzorci níže vynechány. Pak $(x_{0},y_{0},z_{0})$

\kappa _{n}={\frac {\mathbf {v} ^{\top }H_{F}\mathbf {v} }{\|\jméno operátora {grad} F\|}}

je normální zakřivení povrchu v pravidelném bodě pro jednotkový tečný směrový vektor . je Hessián funkce (matice druhých derivací). $\mathbf {v}$ $H_{F}$ $F$

Důkaz tohoto vzorce se opírá (stejně jako v případě implicitní křivky) o větu o implicitní funkci a vzorec pro normální zakřivení parametrického povrchu .

Aplikace implicitních povrchů

Stejně jako v případě implicitních křivek lze snadno vytvářet implicitní plochy požadovaného tvaru pomocí algebraických operací (sčítání, násobení) jednoduchých primitiv.

Ekvipotenciální plocha dvou bodových nábojů

Bodový náboj v bodě tvoří potenciál v bodě (fyzikální konstanty jsou vynechány) $Qi}$ $\mathbf {p} _{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})$ $\mathbf {p} =(x,y,z)$

F_{i}(x,y,z)={\frac {q_{i}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{i}\|}}.

Ekvipotenciální plocha pro potenciální hodnotu je implicitní plocha , což je koule se středem v bodě . $C$ $F_{i}(x,y,z)-c=0$ ${\mathbf p}_{i}$

Potenciál čtyř bodových poplatků se vypočítá podle vzorce

F(x,y,z)={\frac {q_{1}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{1}\|}}+{\frac {q_{ 2}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{2}\|}}+{\frac {q_{3}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _ {3}\|}}+{\frac {q_{4}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{4}\|}}.

Na obrázku mají čtyři náboje velikost 1 a jsou umístěny v bodech . Zobrazená plocha je ekvipotenciální plocha (implicitní plocha) . $(\pm 1,\pm 1,0)$ $F(x,y,z)-2{,}8=0$

Povrch konstantního součinu vzdáleností

Cassiniho ovál lze definovat jako množinu bodů, pro které je součin vzdáleností od dvou daných bodů konstantní (na rozdíl od elipsy, pro kterou je součet vzdáleností konstantní). Podobně lze implicitní plochy definovat jako konstantní součin vzdáleností od některých pevných bodů.

Na obrázku metamorfózy je levá horní plocha vytvořena podle tohoto pravidla. Tento povrch je rovný povrch funkce , kde $F(x,y,z)-1{,}1=0$

{\begin{aligned}F(x,y,z)={}&{\Big (}{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}+z^{2 ))}\cdot {\sqrt {(x+1)^{2}+y^{2}+z^{2))}\\&\qquad \cdot {\sqrt {x^{2}+( y-1)^{2}+z^{2))}\cdot {\sqrt {x^{2}+(y+1)^{2}+z^{2))}{\Velký )} \end{aligned}}

Metamorfózy implicitních ploch

Další jednoduchá metoda pro vytváření nových implicitních povrchů se nazývá implicitní povrchová metamorfóza :

Pro dvě implicitní plochy (na obrázku je to plocha konstantního součinu vzdáleností a torusu) jsou nové plochy definovány pomocí parametru : $F_{1}(x,y,z)=0,F_{2}(x,y,z)=0$ $\mu \in [0,1]$

F(x,y,z)=\mu F_{1}(x,y,z)+(1-\mu )F_{2}(x,y,z)=0

Obrázek ukazuje povrchy s hodnotami parametrů . $\mu =0,\,0{,}33,\,0{,}66,\,1$

Hladká aproximace některých implicitních povrchů

$\Pí$ -plochy [1] lze použít k aproximaci libovolného hladkého a ohraničeného objektu v , jehož povrch je definován polynomem, který je roven součinu ostatních polynomů. Jinými slovy, můžeme vytvořit jakýkoli hladký objekt s jedinou algebraickou plochou. Označme polynomy jako . Potom je aproximující objekt určen polynomem $R^{3}$ $f_{i}\in \mathbb {R} [x_{1},\ldots ,x_{n}](i=1,\ldots ,k)$

F(x,y,z)=\prod _{i}f_{i}(x,y,z)-r

[jeden]

kde definuje parametr míchání, který řídí chybu aproximace. $r\in \mathbb {R}$

Podobně jako u hladké aproximace implicitních křivek, rovnice

F(x,y,z)=F_{1}(x,y,z)\cdot F_{2}(x,y,z)\cdot F_{3}(x,y,z)- r=0

představuje pro vhodné parametry hladké aproximace tří protínajících se tori pomocí rovnic $C$

{\begin{aligned}F_{1}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}- 4R^{2}(x^{2}+y^{2})=0,\\[3pt]F_{2}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+ R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+z^{2})=0,\\[3pt]F_{3}=(x ^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(y^{2}+z^{2 })=0.\end{aligned}}

(Na obrázku jsou parametry stejné ) $R=1,\,a=0{,}2,\,r=0{,}01.$

Vizualizace implicitních ploch

Existuje několik algoritmů pro vykreslování implicitních povrchů [3] , včetně algoritmu „ pochodových kostek “ [4] . Ve skutečnosti existují dva nápady pro vykreslování implicitních povrchů - jeden vytváří síť polygonů, které se následně vykreslují (viz Triangularizace povrchu ), a druhý se opírá o sledování paprsků , kdy průsečíky paprsků s a povrch jsou určeny [5] .

Viz také

implicitní křivka

Poznámky

↑ 12 Raposo , Gomes, 2019 .
↑ POV-Ray ( anglicky: The Persistence of Vision Ray-Tracer ) využívá reverzní sledování paprsků k vytváření 3D fotorealistických obrázků. Scéna v POV-Ray je popsána v SDL ( Eng. Scene Description Language ) - interpretovaném programovacím jazyce se syntaxí podobnou C. Pomocí SDL uživatel nastavuje polohu kamery, světelné zdroje, umístění objektů a jejich vlastnosti, atmosférické efekty atd. Viz článek Vědecké ilustrace v POV-Ray Archived 20. prosince 2019 na Wayback Machine
↑ Bloomenthal, Bajaj, Wyvill, 1997 .
↑ Stephenson, 2004 .
↑ Haines, Akenine-Moller, 2019 .

Literatura

Adriano N. Raposo, Abel JP Gomes. Pi-plochy: produkty implicitních povrchů směrem ke konstruktivní kompozici 3D objektů // Journal of WSCG. - 2019. - arXiv : 1906.06751 . (Mezinárodní konference ve střední Evropě o počítačové grafice, vizualizaci a počítačovém vidění)

Jules Bloomenthal, Chandrajit Bajaj, Brian Wyvill. Úvod do implicitních povrchů . - Morgan Kaufmann, 1997. - ISBN 978-1-55860-233-5 .
Ian Stephenson. Výrobní renderování: Návrh a realizace . - Springer Science & Business Media, 2004. - ISBN 978-1-85233-821-3 .
Eric Haines, Tomáš Akenine-Moller. Ray Tracing Drahokamy. - Springer, 2019. - ISBN 978-1-4842-4427-2 .
Gomes A., Voiculescu I., Jorge J., Wyvill B., Galbraith C. Implicitní křivky a povrchy: Matematika, datové struktury a algoritmy . — London: Springer-Verlag, 2009. — ISBN 978-1-84882-405-8 .
Thorpe JA Základní témata v diferenciální geometrii. - New York: Springer-Verlag, 1979. - (Pregraduální texty v matematice). — ISBN 0-387-90357-7 .
- Thorp J. Počáteční kapitoly diferenciální geometrie. - "Mir", 1982. - (Moderní matematika. Úvodní kurzy).

Odkazy

Sultanow: Implizite Flächen Archivováno 19. ledna 2021 na Wayback Machine
Hartmann: Geometrie a algoritmy pro COMPUTER AIDED DESIGN Archivováno 30. října 2017 na Wayback Machine
GEOMVIEW Archivováno 11. července 2000 na Wayback Machine
K3Dsurf: 3D povrchový generátor Archivováno 10. listopadu 2020 na Wayback Machine
SURF: Visualisierung algebraischer Flächen Archivováno 8. března 2021 na Wayback Machine