Výkon od nuly k nule

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 23. září 2021; kontroly vyžadují 17 úprav .

Výraz 0⁰ ( nula až nula ) je v mnoha učebnicích považován za vágní a nesmyslný [1] [2] . To je způsobeno skutečností, že funkce dvou proměnných v bodě má neredukovatelnou diskontinuitu . Ve skutečnosti podél kladného směru osy , kde se rovná jedné, a podél kladného směru osy , kde se rovná nule. Proto žádná konvence o hodnotě 0⁰ nemůže poskytnout funkci, která je spojitá v nule. ${\displaystyle f(x,y)=x^{y))$ $(0, 0)$ $X,$ $y=0,$ $Y,$ $x=0,$

Dohoda 0 0 = 1: Argument zastánců

Někteří autoři navrhují přijmout dohodu, že se rovná 1. Ve prospěch této možnosti je uvedeno několik argumentů. Například rozšíření do řady exponentu: $0^{0}$

e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!)}}

lze napsat kratší, pokud přijmeme : $0^{0}=1$

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!)}}

(zvažovaná konvence se používá, když ). $x=0,\ n=0$

Pokud 0 odkazuje na přirozená čísla , pak zvýšení na přirozenou mocninu lze definovat takto:

a^{n}=1\cdot \underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{n},

a poté zvýšením libovolného čísla (včetně nuly) na nulovou mocninu dostaneme 1.

Další zdůvodnění dohody je založeno na Bourbakiho "Teorii množin" [3] : počet různých zobrazení n - prvkové množiny na m - prvkovou je roven tomu, když dostaneme zobrazení z prázdné množiny na prázdný a je jedinečný. To samozřejmě nelze považovat za důkaz (konvence není třeba dokazovat), tím spíše, že samotná konvence se v teorii množin nepoužívá. $0^{0}=1$ $m^{n},$ $m=n=0$ $0^{0}=1$

V každém případě je konvence čistě symbolická a nelze ji použít ani v algebraických, ani v analytických transformacích kvůli diskontinuitě funkce v tomto bodě. Ve světle moderní matematické analýzy není v tomto případě vůbec vhodné hovořit o dohodě, tento výraz lze a je třeba chápat pouze ve smyslu omezujícího přechodu v odhalení nejistoty. Příklad pro analytické výpočty: výraz kde je libovolné kladné reálné číslo. Když dostaneme typovou nejistotu a pokud nerozlišujeme mezi omezujícím tvarem (kde každá z nul označuje tendenci k nule) a hodnotou (kde každá z nul je nula), můžeme mylně předpokládat, že limita je 1 Ve skutečnosti je tento výraz identicky roven To znamená, že nekonečně malá až nekonečně malá mocnina může v limitě dávat jakoukoli hodnotu, ne nutně jednu. Podobné chyby lze udělat, pokud se konvence použije v algebraických transformacích. $0^{0}=1$ $(a^{-1/t})^{t},$ $A$ $t\to 0$ $0^{0},$ $0^{0}$ $0^{0}$ $a^{-1}.$

Historie různých úhlů pohledu

Debata o definici probíhala minimálně od počátku 19. století. Mnoho matematiků pak přijalo konvenci , ale v roce 1821 Cauchy [4] počítal mezi nejistoty, jako například Ve 30. letech 19. století Libri [5] [6] publikoval nepřesvědčivý argument pro (viz Heavisideova funkce § Historie ) a Möbius [7 ] se postavil na jeho stranu a mylně prohlásil, že kdykoli . Recenzent, který se podepsal jednoduše jako „S“, uvedl protipříklad , který debatu trochu uklidnil. Více historických podrobností lze nalézt v Knuth (1992) [8] . $0^{0}$ $0^{0}=1$ $0^{0}$ ${\frac {0}{0)).$ $0^{0}=1$ $\lim _{t\to ^{+}}f(t)^{g(t)}=1$ $\lim _{t\to ^{+}}f(t)=\lim _{t\to ^{+}}g(t)=0$ ${\displaystyle (e^{-1/t})^{t))$

Pozdější autoři interpretují výše uvedenou situaci různými způsoby. Někteří tvrdí, že nejlepší hodnota pro závisí na kontextu, a proto je její definování jednou provždy problematické [9] . Podle Bensona (1999): „Volba, zda určit, je založena spíše na pohodlí než na správnosti. Pokud se zdržíme definice , pak se některé výroky stanou zbytečně trapnými. <...> Konsensus je používat definici , ačkoli existují učebnice, které se zdržují definice " [10] . $0^{0}$ $0^{0},$ $0^{0}$ $0^{0}=1$ $0^{0}$

Někteří matematici si myslí, že by to mělo být definováno jako 1. Například Knuth (1992) sebevědomě prohlašuje, že „ by měla být 1“, přičemž rozlišuje mezi hodnotou , která by měla být 1, jak navrhuje Libri, a limitní formou ( zkratka pro limit where ), což je nutně dvojznačnost, jak upozornil Cauchy: „Cauchy i Libri měli pravdu, ale Libri a jeho obránci nechápali, proč je pravda na jejich straně“ [8] . $0^{0}$ $0^{0}$ $0^{0}$ $0^{0}$ ${\displaystyle f(x)^{g(x)))$ $f(x),g(x)\to 0$

Autoritativní stránka MathWorld s odkazem na Knuthův názor nicméně uvádí, že hodnota je obvykle považována za nedefinovanou, přestože konvence umožňuje v některých případech zjednodušit psaní vzorců [11] . V Rusku je Velká ruská encyklopedie , Velká sovětská encyklopedie , Matematický encyklopedický slovník, Vygodského příručka elementární matematiky, školní učebnice a další zdroje jednoznačně charakterizují jako výraz, který nedává smysl (nejistota). $0^{0}$ $0^{0}=1$ $0^{0}$

Zveřejnění nejistoty 0 0

Jsou-li dány dvě funkce a sklon k nule, pak limita v obecném případě, jak je ukázáno výše, může být cokoli. Takže z tohoto pohledu je to nejistota. K nalezení limity v tomto případě používají metody odhalení nejistoty , zpravidla nejprve logaritmováním daného výrazu: a poté L'Hopitalovým pravidlem . $f(x)$ $g(x)$ ${\displaystyle f(x)^{g(x)))$ $0^{0}$ ${\displaystyle f(x)^{g(x)))$ ${\displaystyle \ln \left(f(x)^{g(x)}\right)={\frac {g(x)}{\frac {1}{\ln f(x)))))$

Za určitých podmínek však bude tato hranice vždy rovna jedné. Totiž, pokud jsou funkce a analytické v bodě (to znamená, že v nějakém okolí se body shodují s jejich Taylorovou řadou ), a , a v okolí , pak limita jako pravá má tendenci k nule je rovna 1 [12] [13] [14] . $F$ $G$ $0$ $0$ $f(0)=g(0)=0$ $f(x)>0$ $(0,\delta )$ ${\displaystyle f(x)^{g(x)))$ $X$

Například tímto způsobem si to můžete okamžitě ověřit

\lim _{x\to ^{+}}x^{x}=1,

\lim _{x\to 0^{+}}(\sin x)^{\název operátora {tg} x}=1,

\lim _{x\to 0^{+}}\left(e^{x+1}-e\right)^{x}=1.

Zároveň bychom neměli zapomínat, že pokud alespoň jedna z funkcí neexpanduje do Taylorovy řady v bodě 0 nebo je shodně rovna 0, pak limita může být jakákoli, nebo nemusí existovat. Například, $f(x)$

\lim _{x\to 0^{+}}x^{a/\ln x}=e^{a},

\lim _{x\to 0^{+}}\left(e^{-1/x}\right)^{x}=e^{-1},

\lim _{x\to 0^{+}}0^{x}=0.

Složitý případ

Pro komplexní čísla je výraz tvaru ]jakodefinovánjeavícehodnotovýfor . $u, v$ $u^{v}$ $u\neq 0$ $e^{v\operatorname {Ln} u}$ $\operatorname {Ln} 0$ $0^{0},$ $0^{z},$ $z\neq 0$ $0^{z}=0$

V počítačích

Standard IEEE 754-2008 , který popisuje formát pro reprezentaci čísel s pohyblivou řádovou čárkou , definuje tři umocňovací funkce [18] :

Funkce pro zvýšení na celé číslo: . Podle standardu pro jakékoli , včetně případů, kdy je nula nebo nekonečno. $\operatorname {pown} (x,y)$ $\operatorname {pown} (x,0)=1$ $X$ $X$ NaN
Funkce pro zvýšení na libovolnou mocninu: - v podstatě se rovná . Vrátí " není číslo " podle standardu . $\operatorname {výkon} (x,y)$ ${\displaystyle \exp {\big (}y\ln(x){\big )))$ $\operatorname {powr} (\pm 0,\pm 0)$ NaN
Funkce pro zvýšení na libovolnou mocninu, která je specificky definována pro celá čísla: . Podle standardu pro všechny (stejně jako ). Tato úmluva jako celek má rozumné opodstatnění (viz níže), problém však může nastat, když . $\operatorname {pow} (x,y)$ $\operatorname {pow} (x,\pm 0)=1$ $X$ $\operatorname {pown} (x,0)$ x=NaN

V mnoha programovacích jazycích se nula až nula mocnina rovná 1. Například v C++ : pow(0, 0) == 1, v Haskellu to platí pro všechny tři standardní operace umocňování: 0^0 == 1, 0^^0 == 1, 0**0 == 1. Totéž platí pro standardní kalkulačku MS Windows.

I když je dobře známo, že jde o nejednoznačnost, chování některých funkcí, které se v tomto případě vracejí, není výsledkem dohody nebo chyby, má své opodstatnění. Faktem je, že v počítačové aritmetice jsou číselná data rozdělena na celá a reálná. To lze implicitně použít v některých funkcích, které implementují operaci umocňování. To se například provádí v kalkulačce Windows a funguje v C++. Pro celé číslo a reálné exponenty se používají různé algoritmy a umocňovací funkce analyzuje exponent: pokud je to celé číslo, pak se exponent vypočítá podle jiného algoritmu, ve kterém jsou povoleny záporné a nulové základy exponentu. Pokud exponent patří do množiny celých čísel a je roven 0 a základem je reálné číslo, pak by operace měla být definována pouze jako . Protože 0 v exponentu je přesná, přechod k limitě se týká pouze základu a (na rozdíl od případu, kdy je exponent také reálný) je jednoznačně definován a roven . Výše uvedené plně platí pro případ výpočtu výrazu . $0^{0}$ $jeden$ pow $0^{0}$ $\lim _{x\to 0}x^{0}$ $jeden$ $(\pm \infty )^{0}$

Literatura

Mocninná funkce // Velká sovětská encyklopedie . - M .: Sovětská encyklopedie, 1969-1978.
Power function // Velká ruská encyklopedie : [ve 35 svazcích] / kap. vyd. Yu. S. Osipov . - M .: Velká ruská encyklopedie, 2004-2017.

Poznámky

↑ BRE .
↑ TSB, 1969-1978 : „Pro mocninnou funkci ... není definována pro ; nedává žádný smysl." $x=0$ $x^{a}$ $a<0$ $0^{0}$
↑ N. Bourbaki . Teorie množin // Základy matematiky, Springer-Verlag, 2004, III, § 3.5.
↑ Augustin-Louis Cauchy . Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique (1821). V jeho Oeuvres Complètes , řada 2, svazek 3.
↑ Guillaume Libri . Note sur les valeurs de la fontction 0 0 x , Journal für die reine und angewandte Mathematik 6 (1830), 67-72.
↑ Guillaume Libri . Mémoire sur les fonctions končí, Journal für die reine und angewandte Mathematik 10 (1833), 303-316.
↑ A. F. Mobius. Beweis der Gleichung 0 0 = 1, nach JF Pfaff (německy) // Journal für die reine und angewandte Mathematik : magazin. - 1834. - Bd. 12 . - S. 134-136 .
↑ 1 2 Donald E. Knuth, Dvě poznámky k notaci, Amer. Matematika. Měsíčně 99 ne. 5 (květen 1992), 403-422 (arXiv: math/9205211 Archivováno 20. listopadu 2018 ve Wayback Machine [math.HO]).
↑ Například: Edwards a Penny (1994). Calculus , 4. vydání, Prentice-Hall, str. 466; Keedy, Bittinger a Smith (1982). Algebra dva . Addison-Wesley, p. 32.
↑ Donald C. Benson, The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies . New York Oxford University Press (UK), 1999. ISBN 978-0-19-511721-9 .
↑ Weisstein, Eric W. Power . wolfram matematický svět . Získáno 5. října 2018. Archivováno z originálu 12. září 2018. (neurčitý)
↑ Louis M. Rotando; Henry Korn. Neurčitý tvar 0 0 // Magazín Matematika : časopis . - 1977. - Leden ( roč. 50 , č. 1 ). - str. 41-42 . - doi : 10.2307/2689754 .
↑ sci.math FAQ: Co je 0^0? . www.faqs.org. Získáno 30. srpna 2019. Archivováno z originálu dne 2. prosince 2010. (neurčitý)
↑ Leonard J. Lipkin. Na neurčitém formuláři 0 0 // The College Mathematics Journal. - 2003. - T. 34 , no. 1 . - S. 55-56 . — ISSN 0746-8342 . - doi : 10.2307/3595845 . Archivováno z originálu 13. října 2019.
↑ "Protože log(0) neexistuje, 0 z není definováno. Pro Re( z ) > 0 jej definujeme libovolně jako 0“. ( George F. Carrier, Max Krook a Carl E. Pearson , Funkce komplexní proměnné: Teorie a technika, 2005, s. 15).
↑ "Pro z = 0 , w ≠ 0 definujeme 0 w = 0 , zatímco 0 0 není definováno". Mario Gonzalez , Klasická komplexní analýza, Chapman & Hall, 1991, str. 56.
↑ "Začněme na x = 0 . Zde x x není definováno“. Mark D. Meyerson , The x x Spindle, Mathematics Magazine 69 , no. 3 (červen 1996), 198-206.
↑ IEEE Computer Society. Standard IEEE pro aritmetiku s pohyblivou řádovou čárkou § 9.2.1 : deník . — IEEE, 2008. — 29. srpna. - ISBN 978-0-7381-5753-5 . - doi : 10.1109/IEEEESTD.2008.4610935 .