Nomogram

Nomogram (z jiné řečtiny νόμος - zákon a γράμμα - písmeno) - grafické znázornění funkce několika proměnných , které umožňuje pomocí jednoduchých geometrických operací (například pomocí pravítka) zkoumat funkční závislosti bez výpočtů. Řešte například kvadratickou rovnici bez použití vzorců.

Nomografie

Geometrické reprezentace závislostí mezi proměnnými, eliminující výpočty, jsou známy již dlouhou dobu. Vývoj teorie nomografických konstrukcí začal v 19. století. Teorii konstrukce přímočarých mřížkových nomogramů poprvé vytvořil francouzský matematik L. L. Lalanne (1843). Základy obecné teorie nomografických konstrukcí dal M. Okan (1884-1891) - v jeho dílech se poprvé objevil termín "nomogram" , který byl zaveden pro použití v roce 1890 na Mezinárodním kongresu matematiků v Paříži. N. M. Gersevanov (1906-1908) byl první, kdo v tomto oboru pracoval v Rusku ; pak - N. A. Glagolev , který vytvořil sovětskou nomografickou školu .

Zvláštností nomogramů je, že každý výkres znázorňuje danou oblast změny proměnných a každá z hodnot proměnných v této oblasti je na nomogramu znázorněna určitým geometrickým prvkem (bodem nebo čárou); obrázky hodnot proměnných souvisejících funkční závislostí jsou na nomogramu v určité korespondenci, společné pro nomogramy stejného typu.

Nomogramy se odlišují způsobem zobrazení hodnot proměnných (tečky nebo čáry) a způsobem nastavení korespondence mezi obrázky proměnných. Nejběžnější nomogramy jsou:

ze zarovnaných bodů Pro rovnice se třemi proměnnými se používají tři stupnice, které jsou konstruovány tak, že tři body vyhovující rovnici leží na stejné přímce – odtud název typu nomogramu. Právě s nimi začal vývoj nomografie - odvětví matematiky, které kombinuje teorii a praktické metody pro konstrukci nomogramů. pletivo Pro sestavení mřížkových nomogramů z přímých čar se používají funkční mřížky, z nichž nejjednodušší jsou logaritmické a semilogaritmické. Kromě přímky lze použít i další tzv. rozlišovací nomogramové indexy : kruhy (Godsel), libovolná křivka (Schwerdt), nohy kreslicího čtverce (Sigler) atd. průhledný V nejjednodušším případě se skládá ze dvou rovin - hlavní roviny a průhlednosti - s obrázky proměnných na nich. Banner je často vyroben z průhledného materiálu. Příkladem průhledného nomogramu je logaritmické pravítko .

Při konstrukci mřížkových nomogramů lze nastavit další úkol, anamorfózu : najít takovou transformaci, při které se všechny tři rodiny čar nomogramu změní na rodiny čar, což zjednoduší jeho kreslení.

Pro rovnice s mnoha proměnnými se používají složené nomogramy složené z nomogramů spojených společnými stupnicemi nebo rodinami čar.

Příklady

Paralelní odpor / tenké čočky

Nomogram na obrázku vám umožňuje vypočítat

Nomogram je zajímavý tím, že umožňuje užitečné nelineární výpočty pomocí přímky na lineárně odstupňovaných měřítcích.

A a B se měří na vodorovné a svislé stupnici a výsledek se odečte na diagonální stupnici. Vzhledem k tomu, že vzorec je úměrný harmonickému průměru čísel A a B , má několik aplikací. Například odpor paralelně zapojených vodičů v elektrických sítích a rovnice tenkých čoček v optice .

Na obrázku červená čára ukazuje, že při paralelním zapojení odporů 56 a 42  ohmů bude odpor obvodu 24 ohmů. Z nomogramu také vyplývá, že předmět ve vzdálenosti 56 cm od čočky s ohniskovou vzdáleností 24 cm tvoří optický obraz ve vzdálenosti 42 cm.

Chí-kvadrát nomogram

Nomogram na obrázku lze použít k aproximaci některých veličin potřebných k výpočtu známého Pearsonova testu dobré shody . Tento nomogram ukazuje použití zakřivených stupnic s nelineárním dělením.

Odpovídající výraz je:

Stupnice nahoře odpovídá pěti různým intervalům pozorovaných hodnot - A, B, C, D a E. Mezi těmito hodnotami je vyhledávána pozorovaná hodnota a nad ní je vybrán štítek. Poté se na odpovídající zakřivené stupnici vybere očekávaná hodnota. Například pro pozorovanou hodnotu 9 se zvolí označení nad číslem 9 v intervalu A a pro očekávanou hodnotu se použije křivka stupnice A. Pro pozorovanou hodnotu 81 se použije značka nad 81 v intervalu E a křivka stupnice E pro očekávanou hodnotu. To umožňuje, aby se do jednoho diagramu vešlo několik nomogramů.

Na obrázku modrá čára znázorňuje výpočet

(9 − 5) 2 / 5 = 3,2,

a ta červená je výpočet

(81 - 70) 2/70 = 1,7.

K provedení testu se často používá Yatesova korekce  – jednoduše odečtěte 0,5 od pozorovaných hodnot. Nomogram pro Yatesově korigovaný test lze sestavit jednoduchým posunutím každé „pozorovací“ stupnice o půl jednotky doleva, takže místo 1,0, 2,0, 3,0, ... se hodnoty objeví jako 0,5, 1,5 , 2,5, ….

Viz také

Literatura

Odkazy