Generalizovaná aritmetická progrese

Zobecněná aritmetická progrese - množina čísel nebo prvků libovolné grupy , reprezentovatelná jako $G$

\left\lbrace {a+\sum \limits _{i=1}^{k}{\lambda _{i}d_{i}}\ :\ 0\leq \lambda _{i}<n_{ i},\ i=1,\tečky ,k}\vpravo\rbrace

pro některé . [jeden] ${\displaystyle d_{1},\tečky ,d_{k},n_{1},\tečky ,n_{k))$

Související terminologie

Progrese se nazývá vlastní , pokud jsou všechna čísla formuláře různá, to znamená, že obsahuje prvky. $a+\sum \limits _{i=1}^{k}{\lambda _{i}d_{i))$ ${\displaystyle n_{1}\cdot \ldots \cdot n_{k))$

Pořadí (nebo dimenze ) progrese je počet členů v reprezentaci každého prvku (ve výše uvedené notaci číslo ). $k$

Když , zobecněná aritmetická progrese se také nazývá [2] -rozměrná krychle (protože existuje lineární zobrazení z ) do ní. $n_{1}=\dots =n_{k}=2$ $d$ $\left\lbrace {0,1}\right\rbrace ^{d}$

Když je množina běžným aritmetickým postupem . $k=1$

Rozsah použití

Zobecněné aritmetické posloupnosti jsou konstrukcí, která je méně strukturovaná než obvyklá aritmetická posloupnost, ale přesto má netriviální strukturu (když je velikost progrese velká a pořadí je malé). To z nich dělá vhodný nástroj pro studium a zobecňování teorémů aritmetické kombinatoriky souvisejících s odvozováním struktury z numerických charakteristik množiny, jako je aditivní energie , zdvojovací faktor atd. [3]

Některé strukturní teorémy aditivní kombinatoriky dokazují existenci zobecněné aritmetické progrese dostatečně malé řady a velké velikosti v dostatečně uspořádaných množinách nebo možnost pokrýt takovou množinu zobecněnou aritmetickou progresí malé řady a malých (omezených nějakým vzorcem na velikost sady) velikost.

Zobecněné aritmetické posloupnosti lze použít k prokázání Rothovy věty . [čtyři]

Obecně platí, že dokázat přítomnost zobecněných aritmetických posloupností v množině na základě některých známých faktů o této množině je často snazší než prokázat přítomnost běžných aritmetických posloupností.

Viz také

Aditivní kombinatorika
Freimanův teorém

Poznámky

↑ OEIS Wiki, "Zobecněné aritmetické posloupnosti" . Staženo 8. 5. 2018. Archivováno z originálu 11. 5. 2018. (neurčitý)
↑ WT Gowers, „Nový důkaz Szemerediho věty“, 2001 . Staženo 8. 5. 2018. Archivováno z originálu 11. 5. 2018. (neurčitý)
↑ Matematická laboratoř P. L. Chebyshev, kurz Haralda Helfgotta „Cesta moderními oblastmi analýzy a teorie čísel“, přednáška 2
↑ Graham, 1984 , s. 29-33.

Literatura

Ronald Graham. Počátky Ramseyho teorie. — M .: Mir, 1984.