Změřte obraz při akci zobrazení

Obraz míry je přirozená konstrukce, která udává míru v rozsahu hodnot zobrazení podle míry na doméně definice. Představíme-li si míru jako rozložení hmoty a zobrazení jako přesun bodů z jednoho prostoru do druhého, pak hmotnost množiny je celková hmotnost bodů, které do ní spadají.

Obraz měřícího displeje se obvykle označuje , ale někdy se používá i zápis . $\mu$ $F$ $f_{*}\mu$ $f_{\#}\mu$

Definice

Nechť je dáno měřitelné mapování měřitelných prostorů a míra na , jeho obraz pod akcí je míra na , definovaná jako $f:(X,\Sigma _{1})\to (Y,\Sigma _{2})$ $\mu$ $(X,\Sigma _{1})$ $F$ $f_{*}\mu$ $(Y,\Sigma _{2})$

(f_{*}\mu )(A)=\mu (f^{-1}(A))\quad \forall A\subset Y,\,A\in \Sigma _{2}.

Vlastnosti

Pro funkci mezi metrickými prostory vybavenými Borelovými algebrami lze míru považovat za funkcionál na spojitých omezených funkcích. V tomto případě lze definici obrazu měření přepsat jako $f\dvojtečka X\to Y$ $\sigma$

\int \limits _{Y}\varphi \,d(f_{*}\mu )=\int \limits _{X}\varphi \circ f\,d\mu .

pro jakoukoli nepřetržitou funkci s kompaktní podporou. $\varphi$

Viz také

Invariantní míra