Objem (geometrie)

Objem je aditivní funkce množiny ( míry ) , která charakterizuje kapacitu oblasti prostoru, kterou zabírá. Zpočátku vznikl a byl aplikován bez striktní definice ve vztahu k tělesům trojrozměrného euklidovského prostoru . První přesné definice poskytli Peano ( 1887 ) a Jordan ( 1892 ). Následně koncept zobecnil Lebesgue na širší třídu souborů.

Přístupy k definici

Ke stanovení objemu existuje několik výrazně odlišných přístupů, které se vzájemně doplňují a jsou konzistentní v konečném výsledku na „dobrých sadách“. Obvykle se pod pojmem objem rozumí Jordanova míra , ale někdy i Lebesgueova míra . Pro Riemannovy variety je pojem objemu zaveden podobně jako pojem povrchové plochy .

Pojem objemu připouští přirozené zobecnění konceptu -rozměrného objemu v -dimenzionálním prostoru, také v případě riemannovských a pseudoriemannovských prostorů libovolné dimenze. $n$ $n$

Objemy nejjednodušších těles

Postava	Vzorec	Notový zápis
Krychle	$c^{3}$	$C$ - hrana kostky
Hranol	$Sh$	$S$ - plocha základny, - výška hranolu $h$
Válec	$\pi r^{2}h$	$r$ je poloměr , je výška válce $h$
Míč	${\frac {4}{3}}\pi r^{3}$	$r$ - poloměr
elipsoidní	${\frac {4}{3}}\pi abc$	$a,\;b,\;c$ - hlavní osy
Pyramida	${\frac {1}{3}}Aha$	$A$ - plocha základny, - výška pyramidy $h$
Kužel	${\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$	$r$ - poloměr základny, - výška kužele $h$

Archimedes byl schopen zjistit, že koule a kužely se společným vrcholem, vepsaným do válce, spolu souvisí následovně:

два конуса : сфера : цилиндр как 1:2:3.

Archimédes požádal, aby vyrazil kouli vepsanou do válce na jeho hrobě.

Obecný integrální vzorec

Objem tělesa v trojrozměrném prostoru se vypočítá jako trojný integrál : $D$

V=\iiiint \limits _{D}1\dxdydz

(v kartézských souřadnicích )

V=\iiint \limits _{D}r\,dr\,d\theta \,dz

(ve cylindrických souřadnicích )

V=\iiint \limits _{D}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi

(ve sférických souřadnicích )

Viz také

Poznámky

Literatura

Vodnev V. T., Naumovich A. F., Naumovich N. F., Základní matematické vzorce. Příručka / Ed. Bogdanova Yu.S. Ed. druhý, revidovaný a doplňkové Minsk, "Nejvyšší škola", 1988
Merzon G.A., Yashchenko I.V. Délka, plocha, objem. - MTSNMO, 2011. - ISBN 9785940577409 .
Tsypkin A.G. Příručka matematiky pro střední školy. - 4. vydání, Rev. a dodat.-M.: Nauka. Ch. vyd. Fyzikální matematika lit., 1988. - 432 s.