Homogenní prostor

Homogenní prostor lze neformálně popsat jako prostor, ve kterém jsou všechny body stejné , to znamená, že existuje prostorová symetrie , která přenáší jakýkoli bod do jiného. Definice je poměrně obecná a má několik variant. Homogenní prostor zahrnuje prostory klasické geometrie , jako je euklidovský prostor , Lobačevského prostor , afinní prostor , projektivní prostor a další.

Definice

Homogenní prostor je množina X s výrazným tranzitivním působením grupy G .

Prvky X se nazývají body homogenního prostoru.
Prvky G se nazývají prostorové symetrie a samotná grupa G se nazývá grupa pohybů nebo základní grupa homogenního prostoru.
Podskupina , která opravuje prvek, se nazývá stabilizátor . $H_{x}<G$ $x\in X$ $X$
Pokud je množina X vybavena další strukturou, jako je metrika , topologie nebo hladká struktura , pak se obvykle předpokládá, že akce G zachová tuto strukturu. Například v případě metriky se předpokládá, že akce je izometrická . Podobně, jestliže X je hladká varieta , pak prvky grupy jsou difeomorfismy .

Vlastnosti

Všechny stabilizátory jsou konjugované podskupiny.
Homogenní prostor se základní skupinou G lze ztotožnit s levými kosetami stabilizátoru H . V tomto případě levá akce G na sebe generuje akci na kosetovém prostoru G/H .

Příklady

Metrické prostory

Euklidovský prostor s izometrickou skupinovou akcí; stabilizátorem tohoto děje je skupina ortogonálních transformací. $\mathbb {E} ^{n}$ $\mathrm {O} (n)$
Standardní koule s následujícími akcemi: ${\mathbb {S}}^{n}$
- grupy ortogonálních transformací ; stabilizátor této akce je izomorfní ke skupině . $\mathrm {O} (n)$ $\mathrm {O} (n-1)$
- Skupiny - speciální ortogonální grupa; stabilizátor této akce je izomorfní ke skupině . ${\mathrm {SO}} (n)$ $\mathrm {SO} (n-1)$
Lobačevského prostor s akcí skupiny Lorentz .
Grassmannian : . $\mathrm {Gr} (r,n)=\mathrm {O} (n)/(\mathrm {O} (r)\times \mathrm {O} (nr))$

jiný

Afinní prostor (pro afinní grupu , bodový stabilizátor plné lineární grupy ): . $\mathbf {A} ^{n}=\mathrm {Aff} (n,K)/\mathrm {GL} (n,k)$
Topologické vektorové prostory (v topologickém smyslu).
Antidesitter prostor : . $\mathrm {AdS} _{n+1}=\mathrm {O} (2,n)/\mathrm {O} (1,n)$

Variace a zobecnění

O metrickém prostoru se říká , že je bodově homogenní, pokud lze izometrické zobrazení -bodových podmnožin in rozšířit na izometrii $X$ $n$ $n$ $K\podmnožina X$ $X$ $X$
Podobně jsou definovány konečně homogenní, počitatelně homogenní, kompaktně homogenní prostory a tak dále.
Dvojitý kvocientový prostor je podíl grupy podgrupou působící zprava a zleva. $G/\!/H$ $G$ $H<G\times G$ $G$
Předhomogenní vektorové prostory jsou konečnorozměrný vektorový prostor V s algebraickou grupovou akcí G tak, že existuje orbita G , která je otevřená v topologii Zariski (a tedy hustá). Příkladem je grupa GL(1) působící v jednorozměrném prostoru . Myšlenku předhomogenních vektorových prostorů navrhl Mikio Sato .

Viz také

Homogenita prostoru

Literatura

L. D. Landau, E. M. Lifshits. Teoretická fyzika. V 10 svazcích. - M. : "Nauka", 1988. - T. 2. - ISBN 5-02-014420-7 .
Steve Weinberg . Gravitace a kosmologie (anglicky) . — John Wiley and Sons, 1972.
John Milnor , James D. Stasheff. Charakteristickétřídy . - Princeton University Press , 1974. - ISBN 0-691-08122-0 .
Takashi Koda. Úvod do geometrie homogenních prostorů . — Národní univerzita Kyungpook.
Menelaos Zikidis. Homogenní prostory . — Univerzita v Heidelbergu.
Shoshichi Kobayashi , Katsumi Nomizu . kapitola X // Základy diferenciální geometrie . - Wiley Classics Library, 1969. - Sv. 2.