Optimální kontrola

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 21. září 2020; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Optimální kontrola

Optimální řízení je úkolem navrhnout systém, který poskytuje danému řídicímu objektu nebo procesu zákon řízení nebo řídicí sekvenci akcí, které poskytují maximum nebo minimum daného souboru kritérií kvality systému [1] .

Definice

Optimální řídicí problém zahrnuje výpočet optimálního řídicího programu a syntézu optimálního řídicího systému. Optimální řídicí programy se zpravidla počítají numerickými metodami pro nalezení extrému funkcionálu nebo řešení okrajové úlohy pro soustavu diferenciálních rovnic [2] . Z matematického hlediska je syntéza optimálních řídicích systémů problémem nelineárního programování ve funkčních prostorech [3] .

Pro řešení problému určení optimálního řídicího programu je sestaven matematický model řízeného objektu nebo procesu, který popisuje jeho chování v čase pod vlivem řídicích akcí a jeho vlastního aktuálního stavu [4] .

Pokud není předem znám matematický model řízeného objektu nebo procesu, pak k jeho určení je nutné provést postup pro identifikaci řízeného objektu nebo procesu [5]

Matematický model pro problém optimálního řízení zahrnuje: formulaci cíle kontroly vyjádřeného kritériem kvality kontroly; definice diferenciálních nebo diferenčních rovnic [6] popisujících možné způsoby pohybu řídicího objektu; definice omezení použitých zdrojů ve formě rovnic nebo nerovnic [7] .

Všechny úlohy optimálního řízení lze považovat za úlohy matematického programování a lze je v této podobě řešit numerickými metodami. [8] [9]

Při optimálním řízení hierarchických víceúrovňových systémů se využívají např. velké chemické průmysly, hutní a energetické komplexy, víceúčelové a víceúrovňové hierarchické systémy optimálního řízení. Matematický model zavádí kritéria kvality řízení pro každou úroveň řízení a pro celý systém jako celek a také koordinaci akcí mezi úrovněmi řízení [10] [11] .

Pokud je řízený objekt nebo proces deterministický, pak se k jeho popisu používají diferenciální rovnice. Nejčastěji používané obyčejné diferenciální rovnice jsou ve tvaru . Ve složitějších matematických modelech (pro systémy s distribuovanými parametry) se k popisu objektu používají parciální diferenciální rovnice . Pokud je řízený objekt stochastický, pak se k jeho popisu použijí stochastické diferenciální rovnice . ${\dot {x}}(t)=a[x(t),u(t),t]$

Teorie diferenciálních her se používá k řešení problémů optimálního řízení za podmínek konfliktu nebo nejistoty . [12]

Pokud řešení daného problému optimálního řízení není spojitě závislé na počátečních datech ( chybně položený problém ), pak se takový problém řeší speciálními numerickými metodami. [13]

Pro řešení problémů optimálního řízení s neúplnými počátečními informacemi a za přítomnosti chyb měření se používá metoda maximální věrohodnosti [14] .

Optimální řídicí systém schopný shromažďovat zkušenosti a zlepšovat svou práci na tomto základě se nazývá učící se optimální řídicí systém [15] .

Skutečné chování objektu nebo systému se vždy liší od programu v důsledku nepřesností ve výchozích podmínkách, neúplných informací o vnějších poruchách působících na objekt, nepřesností v provádění programového řízení atd. Proto pro minimalizaci odchylky objektu chování od optimálního, obvykle se používá automatický řídicí systém . [16]

Někdy (například při řízení složitých objektů, jako je vysoká pec v metalurgii nebo při analýze ekonomických informací), počáteční data a znalosti o kontrolovaném objektu při nastavení optimálního řídicího problému obsahují nejisté nebo nejasné informace, které nelze zpracovat tradičními kvantitativní metody. V takových případech lze použít optimální řídicí algoritmy založené na matematické teorii fuzzy množin ( fuzzy řízení ). Použité pojmy a znalosti jsou převedeny do fuzzy formy, jsou určena fuzzy pravidla pro vyvozování rozhodnutí a následně je provedena inverzní transformace fuzzy rozhodnutí na fyzikální řídicí proměnné. [17] [11]

Pro optimální řízení ekonomických procesů se používají metody ekonomické kybernetiky , teorie her , teorie grafů [18]

Optimální řízení deterministických systémů

Soustředěné systémy

Nejrozšířeněji se při návrhu řídicích systémů pro deterministické objekty se soustředěnými parametry popsanými obyčejnými diferenciálními rovnicemi používají následující metody: variační počet , Pontryaginův princip maxima a Bellmanovo dynamické programování [1] .

Problém optimálního řízení

Formulujeme problém optimálního ovládání:

Stavové rovnice: (1). ${\dot {x}}(t)=a[x(t),u(t),t]$
Okrajové podmínky , (2). $x(t_{0})=x_{{0}}^{{*}}$ $x(t_{1})=x_{{1}}^{{*}}$
Minimalizovaná funkčnost: . $\eta =\int _{{t_{0}}}^{{t_{1}}}F[x(\tau ),{\dot {x}}(\tau ),\tau ]d\tau ,$

zde — stavový vektor — řízení, — počáteční a konečné okamžiky času. $x(t)$ $u(t)$ $t_{{0}}, t_{{1}}$

Optimálním problémem řízení je najít stavové a řídící funkce pro čas , které minimalizují funkčnost. $x(t)$ $u(t)$ $({t_{0}}\leq {t}\leq {t_{1}})$

Variační počet

Považujte tento problém optimálního řízení za Lagrangeův problém variačního počtu [19] . Abychom našli potřebné podmínky pro extrém, použijeme Eulerovu-Lagrangeovu větu [19] . Lagrangeova funkce má tvar: , kde jsou okrajové podmínky. Lagrangián má tvar: , kde , , jsou n-rozměrné vektory Lagrangeových multiplikátorů . $\lambda$ $\Lambda =\int _{{t_{0}}}^{{t_{1}}}(F[x(t),{\dot {x}}(t),t]+\lambda _{1 }^{T}(t)({\dot {x}}(t)-a[x(t),u(t),t]))dt+l$ $l=\lambda _{2}^{T}(x(t_{0})-x_{{0}}^{{*}})+\lambda _{3}^{T}(x(t_{ 1})-x_{{1}}^{{*}})$ $L$ $L[x(t),{\tečka {x}}(t),u(t),\lambda (t),t]=F[x(t),{\tečka {x}}(t), t]+\lambda _{1}^{T}(t)({\tečka {x}}(t)-a[x(t),u(t),t])$ $\lambda _{1}$ $\lambda _{2}$ $\lambda _{3}$

Nezbytné podmínky pro extrém podle této věty jsou:

stacionárnost v u: , (3) ${\klobouk {L}}_{{u}}=0$
stacionarita v x, Eulerova rovnice: (4) ${\klobouček {L}}_{x}-{\frac {d}{dt}}{\klobouček {L}}_{\dot {x}}=0$
transverzalita v x: , (5) ${\displaystyle {\klobouček {L}}_{\tečka {x}}(t_{0})={\klobouček {l}}_{x(t_{0}})))$ ${\displaystyle {\klobouček {L}}_{\tečka {x}}(t_{1})=-{\klobouček {l}}_{x(t_{1}})))$

Nezbytné podmínky (3-5) tvoří základ pro určení optimálních trajektorií. Napsáním těchto rovnic získáme dvoubodovou okrajovou úlohu, kde část okrajových podmínek je nastavena v počátečním okamžiku a zbytek v konečném okamžiku. Metody řešení takových problémů jsou podrobně rozebrány v knize [20]

Pontrjaginův princip maxima

Potřeba Pontrjaginova maxima v zásadě vzniká tehdy, když nikde v přípustném rozsahu řídící veličiny není možné splnit nutnou podmínku (3), totiž . ${\klobouk {L}}_{{u}}=0$

V tomto případě je podmínka (3) nahrazena podmínkou (6):

{\begin{aligned}\min _{{u\in U}}L(t,x(t),{\tečka {x}}(t),u)&=L(t,{\hat {x }}(t),{\tečka {x}}(t),{\klobouček {u}})\Šipka doleva\\&\Šipka doleva \min _{{u\in U}}\left(F(t, x(t),u)-\lambda (t)a(t,x(t),u)\right)=f(t)-\lambda (t)a(t).\end{aligned}}

(6)

V tomto případě je podle Pontrjaginova principu maxima hodnota optimální kontroly rovna hodnotě kontroly na jednom z konců přípustného rozsahu. Pontryaginovy rovnice jsou psány pomocí Hamiltonovy funkce definované vztahem . Z rovnic vyplývá, že Hamiltonova funkce souvisí s Lagrangeovou funkcí následovně: . Dosazením z poslední rovnice do rovnic (3–5) získáme potřebné podmínky vyjádřené Hamiltonovou funkcí: $H$ $H=F(t,x(t),u)-\lambda (t)a(t,x(t),u)$ $H$ $L$ $L=H+\lambda (t){\tečka {x}}(t)$ $L$

řídicí rovnice pro u: , (7) ${\klobouk {H}}_{{u}}=0$
stavová rovnice: , (8) ${\tečka {x}}=-{\hat {H}}_{{\lambda }}$
vedlejší rovnice: , (9) ${\dot {\lambda }}=-{\hat {H}}_{x}$
transverzalita v x: , (10) $\lambda (t_{0})={\hat {l}}_{x(t_{0}})}$ ${\displaystyle \lambda (t_{1})=-{\hat {l}}_{x(t_{1}})))$

Nezbytné podmínky zapsané v tomto tvaru se nazývají Pontrjaginovy rovnice. Princip Pontrjaginova maxima je podrobněji rozebrán v knize [19] .

Příklad

Nechť je potřeba vyřešit problém minimalizace funkčnosti:

\int _{0}^{1}(u^{2}-4x)dt

, kde , , .

{\frac {dx}{dt}}=u

0\leqslant u\leqslant 1

x(0)=0

Hamiltonova funkce má v tomto případě tvar:

H=\lambda uu^{2}+4x

Z podmínek 9) a 10) zjistíme, že:

\lambda =4-4t

, .

t\in [0,1]

Dostaneme:

H=(4-4t)uu^{2}+4x

Maximum této funkce vzhledem k , , je dosaženo v , kde $u$ $0<u<1$ $u=u^{*}(t)$

u^{*}(t)={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}0\leqslant t\leqslant {\frac {1}{2}}\\2-2t, &{\mbox{if }}{\frac {1}{2}}\leqslant t\leqslant 1\end{cases}}

Podle podmínek, . Prostředek: ${\frac {dx^{*}(t)}{dt))=u^{*}(t)$

x^{*}(t)={\begin{cases}t+c_{1},&{\mbox{if }}0\leqslant t\leqslant {\frac {1}{2}}\ \2t-t^{2}-c_{2},&{\mbox{if }}{\frac {1}{2}}\leqslant t\leqslant 1\end{cases}}

Od , dostáváme . Z podmínky spojitosti v bodě najdeme konstantu . $x^{*}(0)=0$ $c_{1}=0$ $x^{*}(t)$ $t={\frac {1}{2}}$ $c_{2}=-{\frac {1}{4}}$

Takto:

x^{*}(t)={\begin{cases}t,&{\mbox{if }}0\leqslant t\leqslant {\frac {1}{2}}\\2t-t^ {2}-{\frac {1}{4)),&{\mbox{if }}{\frac {1}{2}}\leqslant t\leqslant 1\end{cases}}

Lze ověřit, že nalezené a představují optimální řešení tohoto problému [21] $x^{*}(t)$ $u^{*}(t)$

Případně

Princip maxima je důležitý zejména v řídicích systémech s maximální rychlostí a minimální spotřebou energie, kde se používají reléové regulace, které v přípustném regulačním intervalu nabývají spíše extrémních než středních hodnot.

Historie

Za rozvoj teorie optimálního řízení byli L. S. Pontrjagin a jeho spolupracovníci V. G. Boltyansky , R. V. Gamkrelidze a E. F. Miščenko v roce 1962 oceněni Leninovou cenou .

Metoda dynamického programování

Metoda dynamického programování je založena na Bellmanově principu optimality, který je formulován následovně: optimální strategie řízení má tu vlastnost, že bez ohledu na počáteční stav a řízení na začátku procesu musí následné kontroly představovat optimální strategii řízení s ohledem na stav získaný po počáteční fázi procesu [22] . Metoda dynamického programování je podrobněji popsána v knize [23]

Dostatečné podmínky optimality

Dostatečné podmínky pro optimalitu řízených procesů získal v roce 1962 V. F. Krotov , na jejich základě byly zkonstruovány iterativní výpočetní metody postupného zlepšování, umožňující nalézt globální optimum v problémech řízení [24] [25] [26] .

Optimální řízení systémů s distribuovanými parametry

V úlohách optimálního řízení takových objektů, jako je průběžná topná pec, výměník tepla , potahovací zařízení, sušící jednotka, chemický reaktor , separátor směsi, vysoká pec nebo pec s otevřenou nístějí , koksárenská baterie, válcovací zařízení. mlýn , indukční ohřívací pec atd. řízený proces je popsán pomocí parciálních diferenciálních rovnic, integrálních rovnic a integro-diferenciálních rovnic.

Teorie optimálního řízení byla v tomto případě vyvinuta pouze pro určité typy těchto rovnic: eliptické, parabolické a hyperbolické typy.

V některých jednoduchých případech je možné získat analog Pontryaginova maximálního principu. [27] [28]

Pokud mají řešení soustav rovnic nestability, body nespojitosti, body bifurkace, více řešení, pak se k jejich získání používá řada speciálních metod [29] .

Problém optimálního řízení

Rozsah řízeného procesu $0\leqslant x\leqslant a,0\leqslant y\leqslant b$
Rovnice popisující řízený proces: , kde — je rozměrový vektor popisující řízený proces, — je rozměrový vektor derivací vektoru vzhledem k souřadnici , — je rozměrový vektor derivací vektoru vzhledem k souřadnice , — je rozměrový řídicí vektor. ${\frac {\částečné ^{{2}}Q_{{i}}}{\částečné x\částečné y}}=f_{i}(x,y,Q,{\frac {\částečné Q}{\ částečné x)),{\frac {\částečné Q}{\částečné y)),u);(1)$ $Q$ $n$ $\frac{\partial Q}{\partial x}$ $n$ $Q$ $X$ ${\frac {\částečné Q}{\částečné y))$ $n$ $Q$ $y$ $u$ $r$
Okrajové podmínky pro řízený proces: $Q_{{i}}(0,y)=\phi _{{i}}(y);Q_{{i}}(x,0)=\psi _{{i}}(x);i= 1,...,n;(2)$
Úkolem optimálního řízení je najít takové řízení, pro které řešení přípustné rovnicemi vede k maximu funkcionálu . $u(x,y)$ $(1), (2)$ $Q(x,y)$ $J=\sum _{{i=1}}^{{n}}c_{{i}}Q_{{i}}(a,b)$

Princip maxima pro systémy s distribuovanými parametry

Pro formulaci maximálního principu pro systémy s distribuovanými parametry je zavedena Hamiltonova funkce: , kde pomocné funkce musí splňovat rovnice a okrajové podmínky pro , pro , . $H(N,Q,{\frac {dQ}{dx}},{\frac {dQ}{dy}},u)=\sum _{{i=1}}^{{n}}N_{{ i}}f_{{i}}(x,y,Q,{\frac {dQ}{dx}},{\frac {dQ}{dy}},u)$ $N_{{1}}(x,y),...,N_{{n}}(x,y)$ ${\frac {dN_{i}}{dxdy}}={\frac {dH}{dQ_{i}}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {dH}{dQ_{ ix}}}-{\frac {d}{dy}}{\frac {dH}{dQ_{iy}}}(2)$ ${\frac {dN_{{i}}}{dx}}=-{\frac {dH}{dQ_{{iy}}}}$ $y=b(3)$ ${\frac {dN_{{i}}}{dy}}=-{\frac {dH}{dQ_{{ix}}}}$ $x=a(4)$ $N_{{i}}(a,b)=-c_{{i}}(5)$

Jestliže je optimální řízení a funkce získané pod optimálním řízením splňují rovnice , pak funkce , uvažovaná jako funkce argumentu , dosahuje maxima v oblasti u , tedy téměř pro všechny body , rovnosti $u^{{0}}(x,y)$ $Q^{{0}}(x,y),N^{{0}}(x,y)$ $(1), (2), (3), (4), (5)$ $H(N^{{0}}(x,y),Q^{{0}}(x,y),{\frac {dQ^{{0}}(x,y)}{dx}}, {\frac {dQ^{{0}}(x,y)}{dy}},u)$ $u$ $\omega$ $u=u^{{0}}(x,y)$ $(x,y)\v D$ $\max _{{u\in \omega }}H(N^{{0}}(x,y),Q^{{0}}(x,y),{\frac {dQ^{{0} }(x,y)}{dx}},{\frac {dQ^{{0}}(x,y)}{dy}},u)=H(N^{{0}}(x,y ),Q^{{0}}(x,y),{\frac {dQ^{{0}}(x,y)}{dx}},{\frac {dQ^{{0}}(x ,y)}{dy}},u)$

Pokud je systém lineárním systémem tvaru , pak věta $(jeden)$ ${\frac {d^{{2}}Q_{{i}}}{dxdy}}=\sum _{{k=1}}^{{n}}{\Bigl [}m_{{ik}} (x,y){\frac {dQ_{{k}}}{dx}}+p_{{ik}}(x,y){\frac {dQ_{{k}}}{dy}}+q_{ {ik}}(x,y)Q_{{k}}{\Bigr ]}+f_{{i}}(u)$

Pro optimální řízení v lineárním případě je nutné a postačující, aby byl splněn princip maxima. $u(x,y)$

Viz důkaz těchto dvou teorémů v knize [28] .

Optimální řízení lineárních stochastických systémů

V tomto případě je řízený objekt nebo proces popsán lineárními stochastickými diferenciálními rovnicemi . V tomto případě je řešení úlohy optimálního řízení provedeno na základě Riccatiho rovnice [30] .

Problém optimálního řízení

Systém je popsán lineárními stochastickými diferenciálními rovnicemi , kde je -rozměrný stavový vektor, je -rozměrný řídicí vektor, je -rozměrný vektor pozorovaných proměnných, jsou nezávislé Wienerovy procesy s nulovými středními hodnotami a danými přírůstkovými kovariancemi, jsou matrice. $dx=Axdt+Budt+dv,dy=Cxdt+de$ $X$ $n$ $u$ $p$ $y$ $proti$ $v(t),e(t)$ $A, B, C$
Je nutné najít optimální řízení, které minimalizuje matematické očekávání ztrátové funkce . $x^{T}(t_{1})Q_{0}x(t_{1})+\int _{{t_{0}}}^{{t_{1}}}[x^{T}( t)Q_{1}x(t)+u^{T}Q_{2}u(t)]dt]$

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 Samoylenko V.I., Puzyrev V.A., Grubrin I.V. "Technická kybernetika", učebnice. příspěvek, M., nakladatelství MAI , 1994, 280 s. ill., ISBN 5-7035-0489-9 , kap. 4 "Optimální řídicí systémy pro dynamické objekty a procesy", s. 63-113;
↑ Moiseev, 1975 , str. 114.
↑ Moiseev, 1975 , str. 316.
↑ Rastrigin L. A. Tento náhodný, náhodný, náhodný svět. - M., Mladá garda, 1969. - S. 47 - 50
↑ Rastrigin L. A. , Madzharov N. E. Úvod do identifikace kontrolních objektů. - M .: Energie, 1977. - 216 s.
↑ Moiseev, 1975 , str. 79-89.
↑ Korshunov Yu.M. "Matematické základy kybernetiky", učebnice. příspěvek pro vysoké školy, 2. vyd., revid. a add., M., "Energy", 1980, 424 s., il., BBK 32,81 6F0,1, kap. 5 "Struktura a matematický popis úloh optimálního řízení", str. 202;
↑ Tabák, 1975 , str. osmnáct.
↑ Moiseev, 1975 , str. 304-368.
↑ Mesarovich M., Mako D., Tkahara I. Teorie hierarchických víceúrovňových systémů - M., Mir, 1973. - str. 344
↑ 1 2 Moiseev, 1975 , str. 465-520.
↑ Krasovský N. N., Subbotin A. I. Poziční diferenciální hry. - M., Nauka, 1974. - str. 24
↑ Vasiliev F. P. Metody řešení extrémních problémů. — M.: Nauka, 1981. — S. 159.
↑ Moiseev, 1975 , str. 351-368.
↑ Tsypkin Ya. Z. Základy teorie systémů učení. - M.: Nauka, 1970. - S. 252.
↑ Alexandrov A. G. Optimální a adaptivní systémy. - M .: Vyšší škola, 1989. - 263 s. ISBN 5-06-000037-0
↑ Metody robustního, neurofuzzy a adaptivního řízení: Učebnice / Ed. N. D. Egupová, ed. 2nd, ster., M., Bauman Moskevská státní technická univerzita, 2002, 744 s., ISBN 5-7038-2030-8 , circ. 2000 kopií, část 2 "Fuzzy control"
↑ Teplov L. Co počítat: Populární eseje o ekonomické kybernetice. - M., dělník Moskovskij, 1970. - 317 s.
↑ 1 2 3 E. M. Galeev, V. M. Tikhomirov „Optimalizace: teorie, příklady, úkoly“, M., Editorial URSS, 2000, 320 s., ISBN 5-8360-0041-7 , kap. 3 "Výpočet variací", str. 6 "Problém Lagrange", str. 173-181;
↑ "Numerické metody v teorii optimálních systémů", Moiseev N. N. , "Nauka", 1971, 424 stran s ilustracemi, kap. 2 "Numerické metody pro výpočet optimálních programů s použitím nezbytných podmínek pro extrém", s. 80 - 155;
↑ Barbaumov V. E., Ermakov V. I., Kriventsova N. N. Příručka matematiky pro ekonomy. - M., Vyšší škola, 1987. - Str. 243
↑ Bellmann R. "Dynamické programování", IL, M., 1960;
↑ "Numerické metody v teorii optimálních systémů", Moiseev N. N. , "Nauka", 1971, 424 stran s ilustracemi, kap. 3 "Přímé metody teorie optimálního řízení", s. 156-265;
↑ Voronov A. A. Teorie automatického řízení. T. 1. - M .: Vyšší škola, 1986, s. 294-304.
↑ Vasiliev F. P. Numerické metody pro řešení extrémních problémů. - M.: Nauka, 1988, s. 522-530.
↑ Krotov V. F. Metody řešení variačních problémů založené na dostatečných podmínkách pro absolutní minimum. I—IV // Automatizace a telemechanika, 1962, roč. 23, č. 12, s. 1571—1583; 1963, díl 24, č. 5, s. 581-598; 1963, díl 24, č. 7, s. 826-843; 1965, vol. 26, č. 1, s. 24-41.
↑ J.-L. Lions Optimální řízení systémů popsaných parciálními diferenciálními rovnicemi, Moskva, Mir, 1972, 412 s.
↑ 1 2 Butkovsky A. G. Teorie optimálního řízení systémů s distribuovanými parametry, M., Nauka, 1965
↑ J.-L. Lions Control of singulární distribuované systémy, Moskva, Mir, 1987, 367 s.
↑ K. Yu. Ostrem Úvod do teorie stochastického řízení, M., Mir, 1973

Literatura

Rastrigin L. A. Moderní principy řízení složitých objektů. — M.: Sov. rozhlas, 1980. - 232 s., BBC 32.815, střelnice. 12 000 výtisků
Alekseev V. M., Tikhomirov V. M. , Fomin S. V. Optimální kontrola. - M .: Nauka, 1979, MDT 519,6, - 223 s., střelnice. 24 000 výtisků
Volgin LN Optimální diskrétní řízení dynamických systémů. - M. : Nauka, 1986. - 240 s.
Tabak D., Kuo B. Optimální řízení a matematické programování. — M .: Nauka, 1975. — 279 s.
Moiseev NN Základy teorie optimálních systémů. — M .: Nauka, 1975. — 526 s.
Galeev E. M. , Tikhomirov V. M. Krátký kurz teorie extremálních problémů. - M. : MGU, 1989. - 204 s. - ISBN 5-211-00313-6 .
Krotov VF, Gurman VI Metody a problémy optimálního řízení. — M .: Nauka, 1973.
Pontryagin L. S., Boltyansky V. G., Gamkrelidze R. V., Mishchenko E. F. Matematická teorie optimálních procesů. — M .: Nauka, 1976.
Boltyansky VG Optimální řízení diskrétních systémů. — M .: Nauka, 1973.
Butkovskiy AG Teorie optimálního řízení systémů s distribuovanými parametry. — M .: Nauka, 1965.
Butkovsky A.G. Metody řízení pro systémy s distribuovanými parametry. — M .: Nauka, 1975.
Budak BM, Vasiliev FP Přibližné metody řešení problémů optimálního řízení. - M .: MGU, 1969.
Oleinikov V. A., Zotov N. S., Prishvin A. M. Základy optimálního a extrémního řízení. - M . : Vyšší škola, 1969. - 296 s.
Degtyarev GL, Sirazetdinov TK Teoretické základy optimálního řízení pružných vesmírných dopravních prostředků. - M .: Mashinostroenie, 1986. - 216 s.
Lerner A. Ya. , Rozenman E. A. Optimální ovládání. - M .: Energie, 1970. - 360 s.
Gurman V. I. , Tikhomirov V. N., Kirillova F. M. Optimální kontrola. - M . : Poznání, 1978. - 144 s.
Boltyansky VG Matematické metody optimálního řízení. — M .: Nauka, 1969. — 408 s.
Young L. Přednáší variační počet a teorii optimálního řízení. — M .: Mir, 1974. — 488 s.
Makarov I. M. , Lokhin V. M. Manko S. V. Umělá inteligence a inteligentní řídicí systémy. — M .: Nauka , 2006. — 333 s. - 1000 výtisků. — ISBN 5-02-033782-X .
Donchev A. Systémy optimálního řízení. Perturbace, aproximace a citlivostní analýza. — M .: Mir, 1987. — 156 s. - 6700 výtisků.
V. A. Ivanov, A. S. Juščenko. Teorie diskrétních automatických řídicích systémů . - M. : Moskevská státní technická univerzita pojmenovaná po N. E. Baumanovi , 2015. - 352 s. — ISBN 978-5-7038-4178-5 .
Kuzin L. T. Základy kybernetiky. - M .: Energie, 1973. - 504 s. — 30 000 výtisků.
Fursikov A. V. Optimální řízení distribuovaných systémů. Teorie a aplikace. - Novosibirsk: Nauchnaya kniga, 1999. - 352 s. - 1000 výtisků. - ISBN 5-88119-017-3 .
Lions JL Management singulárních distribuovaných systémů. - Moskva: Nauka, 1987. - 368 s. - 3600 výtisků.
Khazen EM Metody optimálního statistického řešení a problémů optimálního řízení. - Moskva: Sovětský rozhlas, 1968. - 256 s. — 12 000 výtisků.
Leitman J. Úvod do teorie optimálního řízení. - Moskva: Nauka, 1968. - 190 s. - 14 000 výtisků.
Saridis J. Samoorganizující se stochastické řídicí systémy. - Moskva: Nauka, 1980. - 400 s. - 4000 výtisků.
A. A. AGRACHEV a Yu, L. Sachkov Teorie geometrického řízení . - Moskva: FIZMATLIT, 2004. - 391 s. — ISBN 5-9221-0532-9 .

Odkazy

Gamkrelidze R. V. . Objev Pontrjaginova principu maxima

Slovníky a encyklopedie	Velký Rus Britannica (online)
V bibliografických katalozích	NKC : ph123771