Burali-Fortiho paradox

Buraliho-Fortiho paradox ukazuje, že předpoklad existence množiny všech ordinálních čísel vede k rozporům, a proto je teorie množin rozporuplná , ve které je konstrukce takové množiny možná.

Formulace

V matematické literatuře existují různé formulace založené na odlišné terminologii a předpokládané množině známých teorémů. Zde je jedna z možných formulací.

Lze dokázat, že jestliže je libovolná množina ordinálních čísel, pak součet je ordinální číslo větší nebo rovné každému z prvků . Předpokládejme nyní, že je to množina všech pořadových čísel. Potom je pořadové číslo větší nebo rovno kterémukoli z čísel v . Ale pak a je řadové číslo, navíc je již přísně větší, a proto se nerovná žádnému z čísel v . Ale to odporuje podmínce, která je množinou všech řadových čísel. $X$ $\textstyle\bigcup x$ $X$ $\Omega$ $\textstyle\bigcup \Omega$ $\Omega$ $\textstyle\bigcup \Omega \cup \{\bigcup \Omega\} = \bigcup \Omega + 1$ $\Omega$ $\Omega$

Historie

Tento paradox objevil Cesare Burali-Fortiv roce 1897 a ukázal se být jedním z prvních paradoxů, které ukázaly, že naivní teorie množin je nekonzistentní , a tudíž nevhodná pro potřeby matematiky. Neexistence množiny všech ordinálních čísel je v rozporu s koncepcí naivní teorie množin, která umožňuje konstrukci množin s libovolnou vlastností prvků, tedy termínů tvaru „množina všech takových, že “ ( ). $X$ $P$ $\{x \mid P\}$

Moderní axiomatická teorie množin ukládá přísná omezení typu podmínky , kterou lze použít k vytvoření množin. V axiomatických systémech, jako je Gödel - Bernays , je povoleno vytvoření termínu pro libovolný , ale s výhradou, že se může ukázat, že to není množina, ale třída . $P$ $\{x \mid P\}$ $P$

Viz také

Literatura

Er, Justin M. Historický popis množinově teoretických antinomií způsobených axiomem abstrakce .