Paradox chlapec-dívka je v teorii pravděpodobnosti znám také jako paradox chlapec-dívka, děti pana Smithe a problémy paní Smithové. Problém byl poprvé formulován v roce 1959, kdy Martin Gardner publikoval jednu z prvních verzí tohoto paradoxu v časopise Scientific American nazvanou „Problém dvou dětí“, kde dal následující formulaci:
Gardner sám zpočátku uváděl odpověď 1/2 a 1/3, ale později si uvědomil, že situace v druhém případě je nejednoznačná. [1] Odpověď na druhou otázku může být 1/2, podle toho, jak se zjistilo, že jedno z dětí je chlapec. Nejednoznačnost v závislosti na konkrétním stavu problému a vytvořených předpokladech byla potvrzena později v roce 1982 (Maya Bar-Hillel a Ruma Falk „Některé ukázky týkající se podmíněných pravděpodobností“ [2] ) a v květnu 2004 (Raymond S. Nickerson „Cognition and Chance : The Psychology of Probabilistic Reasoning“ [3] ). Další varianty tohoto paradoxu s různou mírou nejistoty vznikly v poslední době[ co? ] čas získal popularitu. Například v Ask Marilyn v Parade Magazine , [4] John Tierney v The New York Times [ 5] a Leonard Mlodinow v Drunkard's Walk. [6] Zajímavé je i psychologické vnímání tohoto paradoxu. Vědecká studie z roku 2004 (Craig R. Fox a Jonathan Levav (2004) [7] . „Partition-Edit-Count: Naive Extensional Reasoning in Judgment of Conditional Probability) zjistila, že za předpokladu identických vstupních informací, ale odlišných s odchylkami ve formulaci problém, který vybízí k volbě určitého úhlu pohledu, podíl studentů MBA , kteří na druhou otázku odpověděli 1/2, se pohybuje od 85 % do 39 %. Paradox často vyvolává mnoho kontroverzí.3 Mnoho lidí je zapálených zastánci každé z možností.odpovídají, zatímco opačný úhel pohledu popírají a někdy opovrhují.Paradoxem je, že s různými přístupy k analýze se požadovaná pravděpodobnost liší. [6] [7] Nejzřetelnější odpověď na obě otázky je 1/2. [7] Tato odpověď je však zřejmá pouze tehdy, když z každé z otázek vyplývá, že existují dva stejně pravděpodobné výsledky pro pohlaví druhého dítěte (chlapec nebo dívka) [7] [8] a že pravděpodobnosti těchto výsledků jsou bezpodmínečné [9] .
Vybereme náhodnou rodinu, která splňuje podmínky první otázky. Pak jsou 4 stejně pravděpodobné výsledky.
| starší dítě | Nejmladší dítě |
|---|---|
| Dívka | Dívka |
| Dívka | Chlapec |
| Chlapec | Chlapec |
| Chlapec | Dívka |
A pouze 2 z možných výsledků splňují kritérium uvedené v otázce (jedná se o možnosti pro DD, DM). Vzhledem k tomu, že oba výsledky z nového souboru elementárních výsledků {DD, DM} jsou stejně pravděpodobné a pouze jeden z výsledků obsahuje dvě dívky - DD - je pravděpodobnost, že obě děti jsou dívky, 1/2.
Druhá otázka je podobná první, ale místo toho, aby bylo řečeno, že nejstarší dítě je chlapec, otázka říká, že alespoň jedno z dětí je chlapec. V reakci na kritiku ze strany čtenářů Gardner souhlasí s tím, že kvůli „nemožnosti podrobně popsat postup randomizace“ má jeho původní formulace 2 způsoby interpretace metody rodinné selekce:
Je zřejmé, že každý pan Smith má jednoho syna (to je nutná podmínka), ale není jasné, zda každý pan Smith s jedním synem bude přicházet v úvahu. V tom je problém: prohlášení neříká, že mít syna je dostatečnou podmínkou pro zařazení pana Smitha do „vzorku“. Bar-Hillel & Falk [2] , komentující Gardnerovu práci, zároveň poznamenávají, že "Paní Smithová na rozdíl od čtenářky přirozeně ví, jakého jsou její děti pohlaví, když něco tvrdí. A vycházeje z odpovědi: " Mám dvě děti a minimálně jedno z nich je kluk“ – správná odpověď bude podle jejich názoru 1/3, jak Gardner původně navrhoval.
Pokud předpokládáme, že rodina je vybírána podle zásady, že má alespoň jednoho chlapce a přítomnost chlapce je akceptována jako nutná a postačující podmínka , pak zůstávají tři ze čtyř stejně pravděpodobných výsledků pro rodinu s dvě děti ze souboru elementárních výsledků popsaných výše.
| starší dítě | Nejmladší dítě |
|---|---|
| Dívka | Dívka |
| Dívka | Chlapec |
| Chlapec | Dívka |
| Chlapec | Chlapec |
Za předpokladu, že se při hledání chlapce uvažuje s oběma dětmi, je odpověď na druhou otázku 1/3. Pokud by však byla nejprve vybrána rodina a poté bylo zkontrolováno pohlaví jednoho z dětí, pak by správným způsobem výpočtu již nebylo počítat vhodné možnosti, ale vypočítat podmíněnou pravděpodobnost pro každý případ.
| starší dítě | Nejmladší dítě | P (tento případ) | P("vyzkoušel se, že je to chlapec") | P (tento případ a "testováno se ukázalo, že je to chlapec") |
|---|---|---|---|---|
| Dívka | Dívka | 1/4 | 0 | 0 |
| Dívka | Chlapec | 1/4 | 1/2 | 1/8 |
| Chlapec | Dívka | 1/4 | 1/2 | 1/8 |
| Chlapec | Chlapec | 1/4 | jeden | 1/4 |
Odpověď získáte výpočtem podmíněné pravděpodobnosti (1/4)/(0+1/8+1/8+1/4)=1/2. Všimněte si, že v případě výběru konkrétního dítěte se vše stane trochu jinak a podobnou odpověď získáme pomocí jiných výpočtů. Pokud například nejprve zjistíme pohlaví nejmladšího dítěte, pak
| Nejstarší dítě (známé pohlaví) | Nejmladší dítě | P (tento případ) | P("druhé dítě je chlapec") | P (tento případ a "druhé dítě je chlapec") |
|---|---|---|---|---|
| Dívka | Dívka | 1/4 | 0 | 0 |
| Dívka | Chlapec | 1/4 | jeden | 1/4 |
| Chlapec | Dívka | 1/4 | 0 | 0 |
| Chlapec | Chlapec | 1/4 | jeden | 1/4 |
(1/4)/(0+1/4+0+1/4)=1/2.
Od té doby, co Gardnerův paradox získal popularitu, byl široce diskutován a byly vymyšleny různé formy druhé otázky. První verze byla navržena Bar-Hillelem a Falkem [2] a zněla takto:
Pan Smith je otcem dvou dětí. Potkali jsme ho, jak šel po ulici s malým klukem, kterého nám hrdě představil jako svého syna. Jaká je pravděpodobnost, že druhé dítě pana Smithe je také chlapec?Bar-Hillel a Falk použili tuto variaci ke zdůraznění důležitosti věnovat pozornost základním předpokladům. V tomto případě je správná jasná odpověď ½. Někdo však může nesouhlasit a říci, že než nám pan Smith chlapce představil, víme, že je otcem buď dvou dívek DD, nebo dvou chlapců MM, nebo chlapce a dívky, přičemž nejstarší je buď MUDr. kluk nebo holka DM. Vzhledem k ekvipravděpodobnosti událostí tedy opět začínáme s pravděpodobností 1/4, že Smith má dva chlapce. Když zjistíme, že má alespoň jednoho kluka, variantu dvou dívek automaticky zamítáme. A ze skutečnosti, že zbývající tři výsledky jsou stejně pravděpodobné, usuzujeme, že pravděpodobnost MM je 1/3.
Bar-Hillel a Falk [2] říkají, že existuje přirozený předpoklad, že pan Smith náhodně vybral dítě, se kterým bude chodit ven, ale v tomto případě kombinace MM, MD a MM již nejsou stejně pravděpodobné. V tomto případě je v situaci MM zaručena volba chlapce jako společníka a ve zbývajících dvou případech se pravděpodobnost liší od 1. Pokud provedeme výpočty s přihlédnutím k tomuto faktoru, ukáže se, že pravděpodobnost že druhé dítě je chlapec je 1/2.
Bar-Hillel a Falk však navrhli alternativní scénář. Naznačovali, že existuje kultura, ve které byl stejně vybrán chlapec, aby chodil. Za tohoto předpokladu jsou dvojice dětí MM, MD a DM stejně pravděpodobné, i když víme, že chlapec šel na procházku, z čehož můžeme vyvodit, že pravděpodobnost, že i druhé dítě je chlapec, je 1/3 . [2]
V roce 1991 Marilyn vos Savant ve svém sloupku „Ask Marilyn“ v časopise Parade odpověděla na čtenáře, který ji požádal, aby vyřešila variantu paradoxu štěněte. A v roce 1996 se objevila další variace druhé otázky:
Sama Vos Savantová dala na tuto otázku klasickou odpověď. Zároveň ale provedla průzkum, ve kterém čtenáři se 2 dětmi, včetně alespoň jednoho syna, odpovídali na otázku, jakého pohlaví jsou jejich děti. 35,9 % z téměř 18 000 lidí odpovědělo, že mají 2 chlapce. [10] Tato poznámka Vos Savant [4] byla podrobně zhodnocena Carletonem a Stansfieldem [10] v článku z roku 2005 v The American Statistician. Autoři nediskutují možnou nejednoznačnost v této otázce a docházejí k závěru, že její odpověď je matematicky správná vzhledem k předpokladu, že pravděpodobnost narození chlapce a dívky je stejná a pohlaví druhého dítěte nezávisí na pohlaví prvního. Ohledně jejího výzkumu uvádějí, že „v každém případě potvrzujeme, že tvrzení Vos Savant, že pravděpodobnosti uvedené v původní otázce nejsou stejné, je pravdivé a že pravděpodobnost dvou chlapců se blíží 1/3 než 1/2. ".
Carlton a Stansfield pak pokračují v diskuzi o paradoxu chlapce a dívky v životě. Ukazují, že v reálném světě jsou chlapci poněkud častější než dívky a že nezávislost pohlaví druhého dítěte na pohlaví prvního není tak zřejmá. Autoři docházejí k závěru, že ačkoli premisa otázky odporuje skutečným pozorováním, paradox má velkou pedagogickou hodnotu, protože „ilustruje jednu z nejzajímavějších aplikací podmíněné pravděpodobnosti“. Ve skutečnosti nejsou skutečné hodnoty pravděpodobnosti důležité; koneckonců účelem paradoxu je demonstrovat zdánlivě protichůdnou logiku , a ne skutečnou porodnost.
Z hlediska statistické analýzy jsou výše uvedené otázky často nejednoznačné a jako takové nemají „správnou“ odpověď. Paradox druhého dítěte zde však nekončí a užitečné jsou i možnosti, které pro zkoumání intuitivního vnímání pravděpodobnosti člověkem otevírá. Studie, jako jsou ty, které provedl Vos Savant, uvádějí, že pokud by lidé byli konzistentní, s větší pravděpodobností by přišli s 1/3 odpovědí, ale 1/2 odpověď je běžnější. Nejednoznačnost této druhé otázky, i když v klasické matematice vytváří paradoxy, je základem pro studium intuitivního vnímání pravděpodobnosti lidmi. Fox & Levav v roce 2004 [7] použili tento paradox ke studiu toho, jak lidé hodnotí podmíněnou pravděpodobnost. V této studii byl paradox lidem prezentován dvěma způsoby:
Autoři tvrdí, že první formulace vyvolává ve čtenáři mylný dojem, že existují dvě stejně pravděpodobné možnosti pro „druhé dítě“ [7] , zatímco druhá formulace vyvolává ve čtenáři dojem, že existují čtyři možné výsledky, z nichž jeden byl vyloučeno (v důsledku toho je pravděpodobnost pro dva chlapce 1/3, protože existují tři možné zbývající elementární výsledky, z nichž pouze jeden má obě děti chlapce).
Podle výsledků tohoto experimentu se ukázalo, že tyto dvě formulace lidi matou. Takže v prvním případě odpověď 1/2 uvedlo 85 % respondentů, zatímco ve druhém případě pouze 39 %. Autoři naznačují, že důvodem, proč lidé odpovídají na tyto 2 otázky odlišně, je to, že lidé se rozhodují pomocí heuristiky , která zahrnuje použití neformálních metod, na rozdíl od rozhodovacích metod založených na jasných matematických modelech .